Von Hand lösbar oder nicht? (x-1/3)^4 -3(x-1/3)^2 = 0 und x^2 -5x = ln x

Question

ich verstehe diese exponential funktionen nicht mein lehrer hat mir ein paar aufgaben gegeben die ich per hand lösen soll und manche die nicht per hand lösbar sind jetzt weiß ich nicht ob die zwei lösbar sind oder nicht

(x-1/3)^4 -3(x-1/3)^2 = 0

x^2 -5x = ln x

würde mich auf eine antwort freuen danke

Answer 1

(x-1/3)⁴ - 3(x-1/3)² = 0

Lösung durch Substitution z = x - 1/3

z^4 - 3z^2 = 0
z^2 * (z^2 - 3) = 0

z₁ = 0 und z_2/3 = ± √3

x = z + 1/3

x₁ = 0 + 1/3
x_2/3 = 1/3 ± √3

Comments

x² - 5x = ln(x)

Wenn x im Logarithmus ist aber auch außerhalb findet man meist nur eine Lösung über ein Näherungsverfahren.

x^2 - 5x - ln(x) = 0

Laut Wertetabelle gibt es eine Nullstelle zwischen 0 und 1 und eine zwischen 5 und 6.

Über ein Näherungsverfahren finden wir:

x₁ = 0.2739633633
x₂ = 5.314321470

Welches Verfahren du dafür verwendest, bleibt dir überlassen.

Answer 2

Weitere Möglichkeit (a) zu lösen. (Resultat selbstverständlich gleich wie bei Mathecoach)

(x-1/3)⁴ -3(x-1/3)² = 0

                     |(x-1/3)^2 ausklammern

(x-1/3)^2 * ( (x-1/3)^2 - 3)=0

               | 2. Faktor faktorisieren mit 3. Binom

(x-1/3)^2 * ((x-1/3) - √3)*((x-1/3)+√3)=0

Nun die Nullstellen ablesen, wenn die Faktoren 0 sind:

x₁=x₂= 1/3, x₃ = 1/3 + √3, x₄ = 1/3 - √3

(b) Kann man nicht von Hand lösen.