Mein Lösungsweg:
$$2xe^{ x }=7x\quad |:x\\ 2e^{ x }\quad =\quad 7\quad |ln()\\ ln(2)+x\cdot ln(e)\quad =\quad ln(7)\\ ln(2)+x\quad =\quad ln(7)\quad |-ln(2)\\ x\quad =\quad \frac { \quad ln(7) }{ ln(2) } \quad =\quad ln\frac { 7 }{ 2 } $$
Lösungsweg des Lösers:
$$2xe^{ x }=7x\quad |-7x\\ 2xe^{ x }-7x\quad =\quad 0\\ x(2e^{ x }-7)\quad =\quad 0\quad |:x\quad \Rightarrow \quad { x }_{ 1 }\quad =\quad 0\\ 2e^{ x }-7\quad =\quad 0\quad |+7\\ 2e^{ x }\quad =\quad 7\quad |ln()\\ ln(2)+x\cdot ln(e)\quad =\quad ln(7)\\ ln(2)+x\quad =\quad ln(7)\quad |-ln(2)\\ { x }_{ 2 }\quad =\quad \frac { \quad ln(7) }{ ln(2) } \quad =\quad ln\frac { 7 }{ 2 } $$
Die Probe und WolframAlpha stimmen dem zu:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=real+solution+2xe%5Ex+%3D7x
Frage zu meinem Lösungsweg:
1) Weil ich ganz normal aufgelöst, keine faktorisierte Form (Linearfaktorenform) der Gleichung vorliegen und auch nicht die Wurzel gezogen habe, konnte ich keine 2. Lösung erhalten.
Warum ist da trotzdem eine 2. Lösung? Wo ist der "Fehler"? Wie hätte ich davon ausgehen können?
2) Muss ich davon ausgehen, dass ich prinzipiell bei jeder Gleichung eine faktorisierte Form anstreben muss, um bloß nicht die Möglichkeit zu verspielen, weiterer Lösungen zu finden?
Gibt es da einen einfacheren Weg? (Merk-Trick?)
.
