Nach welcher Methode wurde hier faktorisiert von x^3 -6x^2 + 8x-3 = 0 zu x^3-x^2-5x^2 + 5x + 3x-3 = 0?

Question

Hallo Liebes Forum ,

Ich habe folgende Gleichung:

x^3 -6x^2 + 8x-3 = 0

Die wurde in :

x^3-x^2-5x^2 + 5x + 3x-3 = 0

umgewandelt.

Diesen Schritt verstehe ich aber nicht. Ich habe mehrere Gleichungen verglichen und konnte keinen sinnvollen Weg finden.

Ich würde mich freuen wenn jemand mir erklären könnte wie man auf sowas kommt. Mir ist klar das es sicher von Fall zu Fall unterschiedlich ist und alles sicher kompliziert ist, aber ich habe mich auch ein bisschen mit der höheren Mathematik beschäftigt und bin auch für andere Sachen offen.

LG

Answer 1

Diesen Schritt verstehe ich aber nicht.

Was versteht du daran genau nicht?

z.B 8x=(5+3)x=5x+3x 

Wie man darauf kommt? Erfahrung, ein allgemeines Verfahren was stets zum Ziel führt gibt es nicht.

Bei Polynomen dritten Grades kannst du aber auch Cardano oder die Vieta Substitution verwenden, um die Nullstelle(n) zu bestimmen.

Comments

Wie man aus der 8x / 5x + 3x macht.

Ich hätte ja auch 4x + 4x schreiben können.

Aber, hast recht. Nur Erfahrung kann mir das erklären.

Danke.

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Du musst dir eines klar machen:

Faktorisierung ist nur eine  Methode, um für wenige (einfache) Spezialfälle die Nullstellen zu bestimmen.

Im allgemeinen funktioniert das gar nicht, ansonsten wäre es trivial jede Nullstelle eines beliebiegen Polynoms zu bestimmen. Um dir hierfür ein Beispiel zu geben:

f(x)=1x^3+2x^2+3x+4=0

Die Nullstelle hierzu bestimmen ist analytisch möglich, jedoch nicht mit faktorisieren..... .

In der Schule kommen üblicherweise nur Polynome nach Schema f dran:

Nullstellen erratbar und vom Betrag her meist kleiner als 3 , dann Polynomdivision und meist ist man dann schon bei einem Polynom 2ten Grades, bei dem man pq Formel verwenden kann.

Das mit der Erfahrung sage ich deshalb hier nicht zum Spaß.

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Du hast ja auch volkommen recht.

Answer 2

Wir haben dass $$x^3-6x^2+8x-3 = x^3-x^2-5x^2+5x+3x-3 \\ = \left(x^3-5x^2+3x\right) + \left(-x^2+5x-3\right) \\ =  x\cdot \left(x^2-5x+3\right) - \left(x^2-5x+3\right) \\ = \left(x-1\right)\cdot  \left(x^2-5x+3\right) $$ Wenn wir die Terme 6x² und 8x als Summe von zwei Terme schreiben, bekommen wir die Summe von zwei  Ausdrücke von dene wir das x²+5x-3 ausklammern können.

Comments

Danke, aber primär was halt mein Problem das ich nicht weiß wie ich die Summer oder Differenz herausfinde. 8x hätte ja auch 4x + 4x sein können.

Danke.

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Ein Polynom 3. Grades kann als Produkt eines Polynoms 1. Grades und ein Polynom 2. Grades geschrieben werden.

$$x^3-6x^2+8x-3=(x-a)\cdot (x^2+bx+c) \\ =x^3+(b-a)x^2+(c-ab)x-ac$$ Um die Werte von a, b und c zu bestimmen müssen wir das Gleichungssystem $$b-a=-6 , \   c-a\cdot b=8, \ a\cdot c=3$$ lösen. 

Ein anderer Weg zu faktorisieren ist der folgende: Die Teiler von den konstanten Term, also 3, sind 1 und 3. Wir sehen dass x=1 die Gleichung x³ - 6x² + 8x - 3 = 0 erfüllt. Daher schreibt man das Polynom in der folgende Form $$x^3-6x^2+8x-3=(x-1)\cdot p(x)$$ wobei p(x) ein Polynom 2. Grades ist. Um das Polynom p(x) zu  bestimmen dividieren wir das Polynom x³ - 6x² + 8x - 3 durch x - 1. Das Ergebnis ist dann x² - 5x + 3. So bekommen wir dass $$x^3-6x^2+8x-3=(x-1)\cdot (x^2-5x+3)$$ 

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Eine Frage : Wie löse ich das Gleichungssystem ? Bei den drei Gleichungen sind jeweils unterschiedliche Variablen.

Danke.

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Die Teiler von 3 sind 1 und 3. Daher folgt es von der dritte Gleichung dass a = 3 und c = 1  oder  a = 1 und c = 3.

Wenn a = 3 und c = 1 ist, dann haben wir von der ersten Gleichung dass $$b - 3 = -6  \Rightarrow  b = -3$$ Von der zweiten Gleichung haben wir dann $$1 - 3 \cdot (-3) = 8  \Rightarrow  1 + 9 = 8  \Rightarrow  10 = 8$$ ein Widerspruch.

Diese Möglichkeit kann also nicht stimmen. Wir prüfen noch die andere.

Wenn a = 1 und c = 3 ist, dann haben wir von der ersten Gleichung dass $$b - 1 = -6  \Rightarrow  b = -5$$ Von der zweiten Gleichung haben wir dann $$3 - 1 \cdot (-5) = 8  \Rightarrow  3 + 5 = 8  \Rightarrow  8 = 8$$ das stimmt.

Die Lösung des Gleichungssystems ist also $$a=1, \ b=-5, \ c=3$$

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Danke für die Erklärung.

Answer 3

und bin auch für andere Sachen offen.

-->Faktorisieren ist auch mit dem Horner Schema möglich, der Zeitaufwand ist gering.

 

Comments

Danke, aber genau solche Verfahren wollte ich nicht nutzen. Ich wollte mal Alternativen.

Danke trotzdem.

Answer 4

x³ - 6x² + 8x - 3 =

Da die Koeffizientensumme Null ist,
ist (x-1) ein Faktor der Zerlegung.
Es wäre also praktisch, wenn wir den
ausklammern könnten.

Wir beginnen mit der Zerlegung der
Summanden.Der erste Schritt könnte sein:

x³ - x² - 5x^2 + 8x - 3 =

Weiter könnte es mit

x³ - x² - 5x^2 + 5x + 3x - 3 =

gehen.

Jetzt gruppieren wir (tauschen und klammern):

( x³ - x² ) + ( -5x^2 + 5x ) + ( 3x - 3 ) =

Ok, getauscht wurde hier nichts. Nun wird
ausgeklammert:

x^2 * ( x - 1 ) - 5x * ( x - 1 ) + 3 * ( x - 1 ) =

und noch einmal ausgeklammert:

( x^2 - 5x + 3 ) * ( x - 1 ). 

So, das war es schon. Das ist ein durchaus mathematisches Verfahren und hat auch einen richtigen Namen, es heißt "Gruppieren und Ausklammern". Ich benutze es eigentlich häufig, ohne dabei unbedingt immer alle Schritte aufzuschreiben. Dann finde ich es schnell und praktisch. Es gibt auch Schulen, an denen dieses Verfahren auch gelehrt und geübt wird.

Comments

Wie würde es denn wenn es Ihnen keine Umstände macht bei

x^3 + 4x^2 + 9x + 6

aussehen ?

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x³ + 4x² + 9x + 6 =

( x^3 + x^2 ) + ( 3x^2 + 3x ) + ( 6x + 6 ) = ...

Also eigentlich genauso.

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Aber warum dann nicht :

4x^2 = 2x^2 + 2x^2

und

9x = 5x + 4x

Das verstehe ich noch nicht.

Wäre sehr dankbar für eine Erklärung.

Danke.

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Ich bin davon ausgegangen, dass (x+1) einer der Faktoren sein wird. Nun werden die Summanden so gruppiert, dass die Koeffizienten jeder Gruppe im Verhältnis 1:1 stehen, eben genau wie in (x+1). Dann kann man im ersten Ausklammerungsschritt so ausklammern, dass der Faktor (x+1) im zweiten Schritt ausgeklammert werden kann. (Das ist einfacher in der Durchführung als in der Erklärung.)

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Vielen Dank, das leuchtet ein.

Answer 5

Hallo IA,

die farblich gekennzeichneten Terme wurden jeweils in Summanden zerlegt: 

x³ - 6x² + 8x - 3  = 0 

x³  - x² - 5x²  +  5x + 3x  - 3  = 0 

Gruß Wolfgang

Comments

Könntest du mir auch sagen wie man auf so eine Zerlegung kommt ?

Vielen Dank für deine Hilfe.

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Mit der Umformung bezweckt man eine Faktorzerlegung, damit man den Satz vom Nullprodukt anwenden kann.

Gleichung farblich anders markiert:

x³  - x²  - 5x²  +  5x  + 3x - 3  = 0

Jetzt kannst du teilweise ausklammern: 

x² * (x-1)  - 5x * (x-1)  + 3 * (x-1)  = 0

(x-1) ausklammern: 

(x-1) * (x² - 5x + 3) = 0

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Ich möchte es in Linearfaktoren zerlegen um z.b Nullstellen abzulesen. Primär ist das umschreiben gemeint.

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Habe meinen Kommentar  während deiner Antwort gerade ergänzt :-)

Dass man auf den Faktor ( x -1 ) hinaus will, kann man erkennen, wenn man x=1 als Lösung der Gleichung durch Probieren findet.

Das funktioniert aber - auch wenn man eine Lösung erraten kann - leider nicht immer.

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Danke, aber ich weiß halt nicht wie man auf die Summe oder Differenz kommt.

Bei x^2 -6x + 8 kann ich ja

x^2 + (a+b)*x + ab

a + b = -6

a * b = 8

Und so meine Summe oder Differenz bestimmen.

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Und woher nimmst du  x² - 6x + 8  , was zu falschen Lösungen führt?  

x² - 5x + 3 = 0   hat keine reellen Lösungen

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Das obere war nur ein Beispiel um zu zeigen wie ich das meinte. Entschuldige, wenn es irgendwelche Missverständnis gab.

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kein Problem :-)

Answer 6

Grundsätzlich: Nachfragen bitte bei den bereits vorhandenen Fragen und Lösungen stellen.

x^3 -6x^2 + 8x-3 = 0         | Als Erstes wurde wohl festgestellt (im Kopf), dass 1-6 + 8 - 3 = 0

  .                                       | d.h. man zielt auf einen Faktor (x-1) ab. Das bedeutete,

.                          dass jeweils 2 gleiche Koeffizienten und Vorzeichenunterscheide nötig sind.

Also:

= 1x^3 - 1x^2 - 5x^2 ..... + 3x -3        | Zufällig passt + 5x noch dazu:

 = x^3-x^2-5x^2 + 5x + 3x-3 

usw.