Faktorisieren von e^{3x}-1

Question

habe Schwierigkeiten diesen Zähler eines Bruches zu faktorisieren. Ergebnis habe ich, weiß aber die Schritte dazu nicht.

$${ e }^{ 3x }-1$$

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Wie lautet denn das Ergenis? Ich sehe keinen Bruch

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der vollständige Bruch:
$$\frac { { e }^{ 3x }-1 }{ { e }^{ x }-1 } $$

Ergebnis nach dem Faktorisieren:
$$\frac { { (e }^{ x }-1)({ e }^{ x }+{ e }^{ 2x }+1) }{ { e }^{ x }-1 } $$

Answer 1

Polynomdivision

e^{3x} -1 : e^x - 1 = e^2x+ e^x + 1
e^{3x} - e^{2x}
---------------
              e^{2x} - 1
               e^{2x} - e^x
               ----------------
                             e^x - 1
                             e^x - 1
                             --------

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Ich habe nicht verstanden wieso man die Division mit e^x-1 macht.

Wenn ich den Zähler faktorisieren möchte wieso teilt man dann hier durch den nenner?

Ist das immer so wenn ich einen Bruch habe?

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Nein. Muß nicht.

Durch die Information : es handelt sich um diesen
Bruch  .... wurde klar das das faktorisieren
dazu dienen sollte um später kürzen zu können.

Deshalb bot es sich es mit e^x - 1 einmal zu versuchen.

Answer 2

substituiere erstmal e^{x}=z.

Dann hast du oben $$ z^3-1 $$

mit der Nullstelle z=1.

Du kannst also den Linearfaktor (z-1) ohne Rest  ausklammern. Entweder machst du jetzt eine Polynomdivision oder man kann auch den Ansatz

$$ z^3-1=(z-1)(Az^2+Bz+C) $$

nehmen und A,B,C durch Koeffizientenvergleich bestimmen.

Zum Schluss resubstituieren.

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Vielen dank. Durch die Substitution hab ich es verstanden.