rekursive definiert Folgen Grenzwert? Bsp. x_(n+1) = √(7 + 2x_(n)) für n≥1.

Question

wie bestimmte ich den Grenzwert bei rekursives folgen?

Comments

wie gehe ich bei diesen Folgen einfach vor?

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https://www.mathelounge.de/434123/rekursive-folgen-grenzwert

Da hast Du bereits eine Antwort gekriegt, wie man vorzugehen hat.

Answer 1

Diese Aufgaben gehen alle gleich. Zuerst ist die Konvergenz der Folge mit dem Monotonie- oder eventuell auch dem Cauchykriterium zu zeigen. Wenn man das gemacht hat, weiss man, dass es ein \(x\) mit \(x_n\to x\) gibt, und kann in der Rekursionsgleichung \(x_{n+1}=f(x_n)\) mit \(n\to\infty\) zur Grenze uebergehen (etwa wenn \(f\) stetig ist) und bestimmt dann \(x\) aus \(x=f(x)\).

Mach mal selber was dazu.

Answer 2

Zu a) Mit fortschreitender Rekursion gilt immer genauer √(7+2x)=√(7+2√(7+2x)) Nach Quadrieren, Zusammenfassen und wieder Quadrieren wird daraus die quadratische Gleichung x²-2x-7=0 mit der positiven Lösung 1+√8. Dies ist der Grenzwert der Folge.

Comments

Wieso nicht die negative?

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@Likeee22: Kann denn das Resultat beim Wurzelziehen neg. sein? Nein. Also kommt nur die positive Lösung in Frage, wenn die Folge konvergiert.

Wie du die Konvergenz zeigen kannst, hat dir Fakename schon erklärt.