Ich weiß, das man entweder ausklammern, faktorisieren oder die Polynomdivision nutzen soll um die Terme zusammen zu …

Question

Aufgabe:

Vollständige Induktion: Ausklammern von Termen

Problem/Ansatz:

=  n^4 + 6n^3 + 13n^2 + 12n +4   / 4

= (n^2 + 2n + 1)(n^2 + 4n +4)  / 4

= (n+1)^2 (n+2)^2   / 4

Text erkannt:

\( =\frac{n^{4}+6 n^{3}+13 n^{2}+12 \pi+4}{4}=\frac{\left(n^{2}+2 \pi+1\right)\left(\pi^{2}+4 \pi+4\right)}{4}=\frac{(n+1)^{2}(\pi+2)^{2}}{4} \)

Ich weiß, das man entweder ausklammern, faktorisieren oder die Polynomdivision nutzen soll um die Terme zusammen zu fassen, wie genau das funktioniert, weiß ich leider nicht. Kann mir das bitte jemand Schritt für Schritt erklären?

Comments

Besser wäre vielleicht, nicht erst vollständig auszumultiplizieren, sondern zunächst gleiche Faktoren auszuklammern.

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Die \(4\) aus dem Nenner lassen wir im Folgenden weg und betrachten nur:$$f(x)=x^4+6x^3+13x^2+12x+4$$

Zum Faktorisieren musst du zunächst eine Nullstelle kennen. Dabei hilft oft die Regel, dass alle ganzzahligen Nullstellen Teiler der Zahl ohne \(x\) sein müssen. Die Zahl ohne \(x\) ist die \(4\) am Ende. Ihre Teiler sind \(\pm1\), \(\pm2\) und \(\pm4\). Das sind also unsere Kandidaten für ganzzahlige Nullstellen.

Wir probieren diese Kandidaten aus und finden:$$f(-1)=0\quad;\quad f(-2)=0$$Damit wissen wir, dass die beiden Linearfaktoren \((x+1)\) und \((x+2)\) in \(f(x)\) enthalten sein müssen. Daher muss \(f(x)\) durch das Produkt \(\green{(x+1)(x+2)=(x^2+3x+2)}\) teilbar sein. Nun verwenden wir die Polynomdivision:$$\;\;\,(x^4+6x^3+13x^2+12x+4)\;\colon(x^2+3x+2)=\pink{x^2}+\blue{3x}+\red{2}$$$$-(\pink{x^4+3x^3+2x^2})$$$$\quad\quad\quad\;\;3x^3+11x^2+12x+4$$$$\quad\quad\;\;-(\blue{3x^3+9x^2+6x})$$$$\qquad\qquad\qquad\;\,2x^2+6x+4$$$$\qquad\qquad\quad\;\,-(\red{2x^2+6x+4})$$$$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad\;\;0$$

Damit ist also:$$f(x)=(x^2+3x+2)\cdot(\pink{x^2}+\blue{3x}+\red{2})=(\green{x^2+3x+2})^2=(\;\green{(x+1)(x+2)}\;)^2$$$$f(x)=(x+1)^2(x+2)^2$$

Comments

Vielen Dank! Das hilft mir sehr :)

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Wenn ich -1 in die Formel einsetze um die Nullstelle zu berechnen kommt da -28 raus und bei -2 = -136?

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$$f(x)=x^4+6x^3+13x^2+12x+4$$

$$f(-1)=(-1)^4+6\cdot(-1)^3+13\cdot(-1)^2+12\cdot(-1)+4$$$$\phantom{f(-1)}=1-6+13-12+4=0$$$$f(-2)=(-2)^4+6\cdot(-2)^3+13\cdot(-2)^2+12\cdot(-2)+4$$$$\phantom{f(-1)}=16-48+52-24+4=0$$

Answer 2

n^4 + 6·n^3 + 13·n^2 + 12·n + 4

Ganzzahlige Nullstellen wären positive oder negative Teiler von 4. Wir finden -1 und -2 als Nullstellen durch Probieren und machen eine Polynomdivision

(n^4 + 6·n^3 + 13·n^2 + 12·n + 4)/(n + 1) = n^3 + 5·n^2 + 8·n + 4

(n^3 + 5·n^2 + 8·n + 4)/(n +2) = n^2 + 3·n + 2

Hier findet man jetzt die Nullstellen -1 und -2 über die pq-Formel.

D.h. -1 und -2 sind jeweils doppelte Nullstellen und damit lautet die faktorisierte Form

n^4 + 6·n^3 + 13·n^2 + 12·n + 4 = (n + 1)^2·(n + 2)^2

Comments

Statt der Polynomdivision empfehle ich auch meist das einfachere Horner Schema.

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Danke für die Antwort.