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Die 4 aus dem Nenner lassen wir im Folgenden weg und betrachten nur:f(x)=x4+6x3+13x2+12x+4
Zum Faktorisieren musst du zunächst eine Nullstelle kennen. Dabei hilft oft die Regel, dass alle ganzzahligen Nullstellen Teiler der Zahl ohne x sein müssen. Die Zahl ohne x ist die 4 am Ende. Ihre Teiler sind ±1, ±2 und ±4. Das sind also unsere Kandidaten für ganzzahlige Nullstellen.
Wir probieren diese Kandidaten aus und finden:f(−1)=0;f(−2)=0Damit wissen wir, dass die beiden Linearfaktoren (x+1) und (x+2) in f(x) enthalten sein müssen. Daher muss f(x) durch das Produkt (x+1)(x+2)=(x2+3x+2) teilbar sein. Nun verwenden wir die Polynomdivision:(x4+6x3+13x2+12x+4) : (x2+3x+2)=x2+3x+2−(x4+3x3+2x2)3x3+11x2+12x+4−(3x3+9x2+6x)2x2+6x+4−(2x2+6x+4)0
Damit ist also:f(x)=(x2+3x+2)⋅(x2+3x+2)=(x2+3x+2)2=((x+1)(x+2))2f(x)=(x+1)2(x+2)2