Bestimme die Nullstellen der Funktion f.

Question

Aufgabe:

Bestimme die Nullstellen der Funktion f.

Problem/Ansatz:

f(x) = (4x^3 - 4x) (x^2 - 5x)

f(x) = (x^4 - 16) (2x + 1)^2

Answer 1

Es gibt da so einen Satz vom Nullprodukt.

Und bei der ersten Gleichung könnte man x noch ausklammern.

Answer 2

(4x^3 - 4x) *(x^2 - 5x)=0

Satz vom Nullprodukt:

1.)  (4x^3 - 4x)=0

x^3 - x=0      →  x* (x^2-1)=0       →   x₁=0       (x^2-1)=0      →x₂=1      x₃  =-1

2.)  (x^2 - 5x)=0   → x₄=0   identisch mit   x₁=0          x₅=5

Answer 3

Aloha :)

Beide Funktionen kannst du in Linearfaktoren der Form \((x-a)\) zerlegen, aus denen du dann die jeweilige Nullstelle \((x=a)\) ablesen kannst.

$$f(x)=(4x^3-4x)(x^2-5x)=(4x\cdot x^2-4x\cdot1)(x\cdot x-x\cdot5)=4x(x^2-1)x(x-5)$$Mit der dritten binomischen Formel folgt schließlich:$$f(x)=4x^2\underbrace{(x-1)(x+1)}_{=x^2-1}(x-5)$$

Wir haben also eine doppelte Nullstelle bei \(\pink{(x=0)}\), und drei einfache Nullstellen bei \(\pink{(x=1)}\), \(\pink{(x=-1)}\) und \(\pink{(x=5)}\). Bei einer doppelten Nullstelle wird die \(x\)-Achse nicht überschritten, sondern nur berührt.

Bei der zweiten Funktion verfährst du analog. Bei der ersten Klammer \((x^4-16)\) verwendest du wieder die dritte binomische Formel:$$g(x)=(x^4-16)(2x+1)^2=\underbrace{\left((x^2)^2-4^2\right)}_{=x^4-16}(2x+1)^2=\underbrace{(x^2-4)(x^2+4)}_{=x^4-16}(2x+1)^2$$Nun kannst du bei \((x^2-4)\) erneut die dritte binomische Formel anwenden. Bei der letzten Klammer \((2x+1)^2\) wollen wir den Faktor vor dem \(x\) noch loswerden:$$g(x)=\underbrace{(x-2)(x+2)}_{=x^2-4}(x^2+4)\left(2\left(x+\frac12\right)\right)^2$$

Die Klammer \((x^2+4)\) ist stets \(\ge4\) und liefert keine Nullstelle. Alle anderen Klammern können jedoch zu Null werden, nämlich bei \(\pink{(x=2)}\), \(\pink{(x=-2)}\) oder \(\pink{(x=-\frac12)}\).

Answer 4

a)

f(x) = (4·x^3 - 4·x)·(x^2 - 5·x) = 4·x·(x^2 - 1)·x·(x - 5) = 4·x^2·(x^2 - 1)·(x - 5)

Satz vom Nullprodukt

x^2 = 0 → x = 0 (2-fache Nullstelle)

x^2 - 1 = 0 --> x = -1 ∨ x = 1

x - 5 = 0 → x = 5

b)

f(x) = (x^4 - 16)·(2·x + 1)^2

Satz vom Nullprodukt

x^4 - 16 = 0 → x = -2 ∨ x = 2

2·x + 1 = 0 --> x = -0.5 (2-fache Nullstelle)