Erzeugendensystem einer linearen Hülle?

Question

ich habe folgende Aufgabe gegeben:

Gegeben sei die Menge \( ε ⊆ ℝ_{≤4} [x] \),

\( ε := \{ x^4 - x^3 + 1, x^4 - x, x^3 - x^2 - x, x^2 - 1 \} ⊂ ε \)

a) Beweisen Sie, dass die Vektoren in ε linear abhängig sind.

b) Zeigen Sie, dass \( \{ x^4 - x^3 + 1, x^3 - x^2 - x, x^2 - 1 \} ⊂ ε \) ein Erzeugendensystem von span(ε) ist.

c) Bestimmen Sie eine Basis von span(ε) und geben Sie die Dimension von span(ε) an.

Teilaufgabe a) habe ich bereits gelöst, jedoch bin ich bei b) und c) ein wenig überfragt. Reicht es bei b) zu zeigen, dass (x⁴ - x)  linear abhängig zu den anderen drei Vektoren ist?

Ein Ansatz für c) wäre auch echt hilfreich.

Answer 1

Reicht es bei b) zu zeigen, dass (x^4 - x)  linear abhängig zu den anderen drei Vektoren ist?

Genauer: x^4 -x lässt sich als Linearkombination der anderen drei darstellen.

Dann kann man mit den dreien eben alles darstellen (Den Span halt) was sich durch die

4 darstellen lässt.

zeige, dass die drei Elemente von b) linear unabhängig sind.

Da sie ein Erzeugendensystem sind, sind dann auch eine Basis und dim=3.

Comments

Das hat mir sehr geholfen und einiges an Verwirrung beseitigt :D

Answer 2

  Hier die ist geil; hier wird nämlich  Verständnis getestet. Folgende Polynome:

      p1  :=  x  ^  4  -  x  ³                     +  1     (  1a  )

      p2  :=                 x  ³  -  x  ²  -  x               (  1b  )

      p3  :=                            x  ²          -  1      (  1c  )

     p4  :=  x  ^  4                        -  x               (  1d  )

   Er will doch praktisch sagen:  p1;2;3  bilden eine Basis von  €  (  schon ein merkwürdiger Name  für einen Vektorraum;  im  ===>  Anime würde der Herr Kommissar jetzt aus dem  €  das Geständnis erpressen,  dass Herr Professor einen umgenietet haben.  )  Die Linearkombination   (  LK  )  ist

      p4  =  p1  +  p2  +  p3       (  2  )

     Leicht nachvollziehbar; steht ja schon alles untereinandernder.

   Macht Internet dumm?  Frankfurt war vielleicht nicht gut, aber immerhin besser als sein Ruf.  Schaut mal in Wiki,  was eine Basis ist -  und LERNT ES AUSWÄNDIG  .   (  Beweise und nähere Erläuterungen alles in  Wiki.  )

    SATZ   und    DEFINITION   (  Basis  )

   ==================================

   Ein Vektorensystem (  müsste man sich auch mal darüber unterhalten, was ein  " System "   sein soll  )    heißt   Basis , wenn eine der vier äquivalenten Eigenschaften vorliegt:

   1)  Eindeutig                                   Erzeugendes

   2)  minimales                                           "

   3)                        linear unabhängiges     "    

  4)  maximal            "              "

     ===========================================

   Da  wir ja schon  "  Erzeugendes  "  nachgewiesen haben, läge Punkt 3) nahe  -  viel zu umständlich.  Mit Unterpunkt 2 , dem  "  minimalen Erzeugenden  "  , erzielst du oft ungeahnte Erfolge.

    Doch acht passen; minimal und minimal ist zweierlei.  Stell dir vor,  im  |R  ³  liegen  4 711  Vektoren in der Ebene e . Und e_4 712  steht senkrecht auf E  .    Das bleibt nach wie vor ein Erzeugendes,  wenn du z.B.  e_1 234  weg nimmst.    Aber e_4 712 ist unverzichtbar.

    Unser System ist ja auch nicht minimal für den |R  ³

   Dagegen wenn du drei Basisvektoren hast, darfst du keinen von ihnen weglassen - das ist gemeint.

   Wir wissen aber gerade nicht, ob p1;2;3  in  ( 1a-c ) eine Basis bilden.   Nacheinander lassen wir versuchsweise jedes der drei Basispolynome weg und versuchen, es darzustellen als   LK  der übrigen beiden.

   Im Folgenden möge wie üblich V_n  den Polynomraum aller Polynome  n_ten Grades bedeuten.  Lassen wir zunächst  p1 weg;  p2 ,  p3  €  V3  .  p1 liegt aber gerade nicht in V3 .

   Wenn du jetzt   p2 heraus lässt,  müsste eine  LK  von p1 und p3  ein  kubistisches Polynom ergeben.  Das geht aber nicht, weil p3 von zweiter Ordnung und mithin    a_4  (  p3  )  =  0  .  Jede LK  aus p1  und  p3  muss tot sicher wieder vom   4.  Grade sein;  analog argumentiert man,  wenn p3  weg gelassen wird.