Aloha :)
Du kriegst das nicht vernünftig aufgelöst, weil du noch lange nicht zu Ende vereinfacht hast. Du brauchst möglichst viele Spalten, die lauter Nullen und genau eine Eins enthalten.
In der vorletzten Spalte ist da noch was drin, indem du das Dreifache der dritten Zeile von der zweiten Zeile subtrahierst.
In der letzten Spalte rockt der Papst, da kannst du die letzte Zeile zur zweiten Zeile addieren und das Doppelte der letzten Zeile von der ersten Zeile subtrahieren.
Das Ergebnis ist dann:$$\begin{array}{rrrrrrr|c}x_1 & x_2 & x_3 & x_4 & x_5 & x_6 & x_7 & =\\\hline1 & -2 & 0 & 1 & 3 & 0 & \pink0 & 0\\0 & 0 & 1 & 4 & 0 & \pink0 & \pink0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\end{array}$$JETZT kannst du die vier Gleichungen nach den isolierten Variablen bequem umstellen:$$x_1=2x_2-x_4-3x_5\quad;\quad x_3=-4x_4\quad;\quad x_6=0\quad;\quad x_7=0$$und eine mögliche Basis angeben:$$\vec x=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\\x_5\\x_6\\x_7\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2x_2-x_4-3x_5\\x_2\\-4x_4\\x_4\\x_5\\0\\0\end{pmatrix}=x_2\begin{pmatrix}2\\1\\0\\0\\0\\0\\0\end{pmatrix}+x_4\begin{pmatrix}-1\\0\\-4\\1\\0\\0\\0\end{pmatrix}+x_5\begin{pmatrix}-3\\0\\0\\0\\1\\0\\0\end{pmatrix}$$
