Dimension eines Erzeugnisses? Menge A=(x^3+x^5, x+2x^3+5x^5)⊆R(x)

Question

Ist die Menge A=(x^3+x^5, x+2x^3+5x^5)⊆R(x)

Welche Dimension hat ⟨A⟩ also das Erzeugnis? Bisher habe ich nur die Dimension von Unterräumen gehabt...Auch soll ich eine Basis angeben. Gibt es da einen Trick bei Poynomen eine Basis zu finden?

Answer 1

> Welche Dimension hat ⟨A⟩ also das Erzeugnis?

Dimension von ⟨A⟩ ist höchstens zwei, weil |A| = 2 ist.

Dimension von ⟨A⟩ ist mindestens zwei, weil x³+x⁵ kein Vielfaches von x+2x³+5x⁵ ist.

> Bisher habe ich nur die Dimension von Unterräumen gehabt

Dann sollte die Aufgabe ja kein Problem sein, ⟨A⟩ ist ein Umtervektorraum des Vektorraums R(x).

> Auch soll ich eine Basis angeben

Ist jetzt trivial.

> Gibt es da einen Trick bei Poynomen eine Basis zu finden?

Wenn du die Faktoren vor den Potenzen untereinanderschreibst ohne dabei Potenzen auszulassen (also z. B. x+2x³+5x⁵ = 0x⁰ + 1x¹ + 0x² + 2x³ + 0x⁴ + 5x⁵ führt zu (0 1 0 2 0 5)^T), dann kannst du mit Polynomräumen genau so rechnen wie mit ℝⁿ. Du musst nur vorher schauen, welchen Wert für n du brauchst und es kann sein, dass n=∞ ist.