Basis und Dimension eines Untervektorraumes bestimmen.

Question

Aufgabe: Ich habe den Untervektorraum U =  (a1,a2,a3) ∈ ℝ3, davon soll ich die Basis und Dimension bestimmen.

a1(1,2,0), a2(0,1,3), a3(1,1,-3).

Darunter befinden sich die Vektoren in einer Matrix aufgeschrieben.

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03-3

Problem/Ansatz: Ich habe herausbekommen, dass der Untervektorraum die Dimension 1 besitzt.

Außerdem habe ich als Basis: {x3(-1,1,1)} herausbekommen. Dafür habe ich die Gleichung in ein Gleichungssystem geschrieben und als Ergebnis bekam ich das. Außerdem ist die Basis linear unabhängig, weil es ja nur einen Vektor gibt (richtig oder?).

Jetzt ist die Frage, ob ich mich verrechnet habe, weil ich nirgendwo die Lösung dazu finden kann.

Daher wäre es nett, wenn mir jemand kurz meinen Fehler zeigen kann, bzw. mein Vorgehen als richtig abhakt.





Zeppi

Comments

Der UVR hat Dimension 2. Da du keinen Rechenweg angegeben hast, kann man aber auch nicht sagen, wo du dich verrechnet hast. Ein Standardweg ist es die Vektoren in die Zeilen einer Matrix zu schreiben und dann die Matrix mit elementaren Zeilenumformungen auf Zeilenstufenform zu bringen. Die Nichtnull-Zeilen bilden dann eine Basis.

Hier also (1,2,0) und (0,1,3).

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Ich habe diese Matrix.

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Dann umgeformt und eine Nullzeile bekommen. Und du hast recht, es ist die Dimension 2.

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Aber wie genau kann ich jetzt aus der Zeile die Basis ablesen?
Denn ich hatte schon einmal eine Aufgabe bezüglich Untervektorräumen (https://www.mathelounge.de/804178/basis-eines-untervektorraumes#c804189)und dort wurde das dann anders gerechnet.

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Aber wie genau kann ich jetzt aus der Zeile die Basis ablesen?

Gar nicht. Das LGS liefert dir nur Lösungen für die Gleichung

$$ \lambda_1 a_1 + \lambda_2 a_2 + \lambda_3 a_3 = 0 \iff \begin{pmatrix} 1&0&1\\ 2&1&1\\ 0&3&-3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\lambda_1\\\lambda_2\\\lambda_3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix} $$

Die Lösungen sind \( \lambda_3 \cdot (-1,1,1) \). Jetzt weißt du aber nur, dass die Vektoren linear abhängig sind. Du musst also einen davon aus dem ES entfernen und dann wären die beiden verbleibenden linear unabhängig, also eine Basis.

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Ich verstehe leider nicht ganz, was mir  \( \lambda_3 \cdot (-1,1,1) \) dann sagt.

Woher weiß man, welchen Vektor man weglassen muss, damit die anderen eine Basis bilden?

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Das sagt dir, dass z.B.

$$ -1 a_1 + 1 a_2 +1a_3 = 0 $$

Jetzt stellst du das nach einem \( a_i \) mit Koeffizient \( \neq 0 \) um, also z.B. \( a_1 \):

$$ 1 a_1 = 1 a_2 + 1 a_3 $$

und teilst dann durch den Koeffizienten (das geht da \( \neq 0 \)). Hier ist er 1, das entfällt also eigentlich, aber du bekommst dann eine Gleichung der Form:

$$ a_1 = \frac{1}{1} a_2 + \frac{1}{1} a_3 $$

insb.

$$ a_1 \in \operatorname{Lin}(a_2, a_3) \implies \operatorname{Lin}(a_1, a_2, a_3) = \operatorname{Lin}(a_2, a_3) $$

Jetzt musst du halt noch begründen, warum \( (a_2,a_3) \) linear unabhängig ist.

Und zu deiner anderen Frage:

Ein Standardweg ist es die Vektoren in die Zeilen einer Matrix zu schreiben und dann die Matrix mit elementaren Zeilenumformungen auf Zeilenstufenform zu bringen. Die Nichtnull-Zeilen bilden dann eine Basis.

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Also hätte man es so aufschreiben müssen? \(\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0  \\ 0 & 1 & 3  \\ 1 & 1 & -3  \end{pmatrix}\)

Dann umformen zu: \(\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 3  \\ 0 & 0 & 0  \end{pmatrix}\)

Und dann kann man da (1,2,0) und (0,1,3) ablesen.

Ein Standardweg ist es die Vektoren in die Zeilen einer Matrix zu schreiben und dann die Matrix mit elementaren Zeilenumformungen auf Zeilenstufenform zu bringen. Die Nichtnull-Zeilen bilden dann eine Basis.

Aber kann man die auch als theoretisch auch Spaltenweise aufschreiben?

Macht man das immer so? Weil wenn man umformt in die Stufenform entstehen ja Nullen (damit es eine Stufe wird), in dem Fall war die Null schon vorher da (0,1,3))? Aber wenn man z.B. ein R5 betrachtet und man mehr Nullen jeweils an den Stufen hat, schreibt man dann den Vektor mit den erzeugten Nullen auf als Basis, oder den Vektor, der er vorher einmal war, ohne die Umformung?

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Aber kann man die auch als theoretisch auch Spaltenweise aufschreiben?

Ja kann man. Aber dann muss man Spaltenumformungen nutzen und kann keine Zeilenumformungen verwenden.

Macht man das immer so? Weil wenn man umformt in die Stufenform entstehen ja Nullen (damit es eine Stufe wird), in dem Fall war die Null schon vorher da (0,1,3))? Aber wenn man z.B. ein R5 betrachtet und man mehr Nullen jeweils an den Stufen hat, schreibt man dann den Vektor mit den erzeugten Nullen auf als Basis, oder den Vektor, der er vorher einmal war, ohne die Umformung?

Man verwendet die immer die Vektoren die ganz zum Schluss in der Matrix stehen.

Die Idee des Verfahren ist das sog. Austauschlemma: Wenn \( (v_1,...,v_i,...,v_n) \) ein Erzeugendensystem ist, dann ist auch \( (v_1,...,\lambda_1 v_1 + \dotsm + \lambda_i v_i + \dotsm + \lambda_n v_n,...,v_n) \) für \( \lambda_i \neq 0 \) ein Ezeugendensystem.

Wenn du die Vektoren also in die Zeilen einer Matrix schreibst und dann Zeilenumformungen damit machst, bleiben die Zeilen nach jedem Schritt ein Erzeugendensystem. Analog geht das halt mit Spalten und Spaltenumformungen.

Die Treppenstufenform nutzt man, weil man an ihr trivial erkennt, dass die Nichtnull Vektoren linear unabhängig sind. Und dass man den 0 Vektor aus einem Erzeugendensystem weglassen kann ist eigentlich auch klar.