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ich habe folgende Aufgabe, habe aber Probleme bit der Zielfunktion:

1) Eine Firma stellt oben offene Regentonne für Hobbygärtner her. Diese sollen bei gegebenem Materialbedarf maximales Volumen besitzen.
a) Wie sind die Abmessungen zu wählen , wenn 2 m² Material je Regentonne zur Verfügung stehen?

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Die Hauptbedingung beschreibt die zu optimierende Größe; das ist in diesem Fall das Volumen V der Tonne. Bei einer zylindrischen Form und einer Höhe von h und einem Radius von r ist das Volumen V=hπr2V=h\pi r^2 Die Nebenbedingung folgt hier aus der Tatsache, dass nur 2qm an Matrial für den Mantel 2hπr2h\pi r und den Boden πr2\pi r^2 verbraucht werden darf 2hπr+πr22m2=02h\pi r +\pi r^2 - 2\text{m}^2=0 Die Lagrange-Funktion ist also L(r,h,λ)=hπr2+λ(2hπr+πr22m2)L(r,h,\lambda)=h\pi r^2 + \lambda(2h\pi r +\pi r^2 - 2\text{m}^2) Ableiten nach r und h und Nullsetzen δLδr=2hπr+2λhπ+2λπr=0\frac{\delta L}{\delta r}=2h\pi r + 2\lambda h\pi + 2\lambda\pi r=0 δLδh=πr2+2λπr=0\frac{\delta L}{\delta h}=\pi r^2 + 2\lambda \pi r=0 aus der letzten Gleichung folgt, dass λ=r2 \lambda=\frac{-r}{2} . Einsetzen in die erste Gleichung ergibt 2hπrhπrπr2=0 2h\pi r - h\pi r - \pi r^2 = 0 bzw.: h=rh=r. Einsetzen in die Nebenbedingung ergibt 2πr2+πr22m2=02\pi r^2+\pi r^2 - 2\text{m}^2=0 r=23πm0,461mr=\sqrt{ \frac{2}{3 \pi}}\text{m} \approx 0,461\text{m}

Gruß Werner

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> maximales Volumen

Hauptbedingung ist deshalb:

          Volumen(wasauchimmer, wasauchnoch) = TermFürVolumen

Was sagt deine Hauptbedingung aus und warum hast du sie so gewählt?

> 2 m² Material je Regentonne

Nebenedingung ist also

        FlächeVonKörper(wasauchimmer, wasauchnoch) = TermFürFläche

Dabei hast du "FlächeVonKörper(wasauchimmer, wasauchnoch)" gegeben, nämlich 2. Einsetzen:

        2 = TermFürFläche

Was du als TermFürFläche verwenden kannst, kommt auf die Form des Objektes an. Anhand von "offene Regentonne" vermute ich Mantel plus Boden eines Zylinders. Ersetze TermFürFläche durch den entsprechenden Term, löse nach wasauchimmer auf und setze in die  Hauptbedingung ein.

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Nebenbedingung

A = pi·r2 + 2·pi·r·h

h = a/(2·pi·r) - r/2

Hauptbedingung

V = pi·r2·h

V = pi·r2·(A/(2·pi·r) - r/2)

V = A/2·r - pi/2·r3

V' = A/2 - 3/2·pi·r2 = 0

r = √(A/(3·pi))

h = A/(2·pi·√(A/(3·pi))) - √(A/(3·pi))/2 

h = √(A/(3·pi))

Damit sind Radius und Höhe gleich groß.

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