Lineare Abbildungen von R^2 nach R^2 finden: f1 ((1,1))=f((1,0)), f1 ((1,0))=f((0,1))

Question

f1 ((1,1))=f((1,0)), f1 ((1,0))=f((0,1))

Answer 1

f1 ((1,1))=f((1,0)), f1 ((1,0))=f((0,1))   Also f ist schon eine lin. Abb. ???

Dann ist es ja nicht wild; denn (1;1) und ( 1;0) bilden eine Basis von IR² ,

also lässt sich jedes ( a;b) damit darstellen

und zwar offenbar in der Formb *(1;1)  +  (a-b)* ( 1;0)  =  ( a;b )

Dann ist , wenn f1 linear sein soll ,f1 ((a;b)) =  f1 ( b *(1;1)  +  (a-b)* ( 1;0)  )  

=b *f1(1;1)  +  (a-b)* f1( 1;0) 

==b *f(1;0)  +  (a-b)* f( 0;1)    und wegen der Linearität von f

= f ( b , a-b ) .

Also kurz : Es ist f1 die Abb. mit f1 ((a;b)) = f ( (b , a-b) ) .

Comments

(1;1) und ( 1;0) bilden eine Basis von IR² ... wie beweist man das?

---

Brauchst du nicht zu beweisen, wird ja nicht benutzt.

Es wird nur gebraucht:     b *(1;1)  +  (a-b)* ( 1;0)  =  ( a;b )  .Und das kannst du ja einfach nachrechnen.

Ansonsten beweist man Basis über die Def:

lin. unabhängiges Erzeugendensystem

---

Wie kommt man auf a-b

---

Kannst einen Ansatz machen in der Art 

x*(1;1)  +  y* ( 1;0)  =  ( a;b ) dann bekommst du x=b  und  y =  a-b .