Überprüfen, ob Abbildungen linear sind. Bsp. 1) f1: ℝ^2 → ℝ^2 , (x,y) → (3x +2y, -x - (2/3)y)

Question

hey Leute ich bräuchte mal eure Hilfe:

Aufgabe: Überprüfe, ob die folgenden Abbildungen linear sind:

1) f₁: ℝ² → ℝ² , (x,y) → (3x +2y, -x - (2/3)y)

2) f₂ :ℝⁿ → ℝ , x¯ = (x₁, ..., x_n)^T , x¯ → x₁ + ... + x_n

3) f₃ : ℂ → ℂ , z → z¯

für eure Tipps und Lösungen würde ich mich sehr freuen.

Comments

ist das bei 1)    -x - (2/3)y

oder   -x - 2/(3y)

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bei 1) ist es -x - (2/3)y

Answer 1

  1) f₁: ℝ² → ℝ² , (x,y) → (3x +2y, -x - 2/3y)

2) f₂ :ℝⁿ → ℝ , x¯ = (x₁, ..., x_n)^T , x¯ → x₁ + ... + x_n

3) f₃ : ℂ → ℂ , z → z¯

Dann ist 1) eine lin. Abb.

ziege einfach f(a+b) = f(a)+f(b) für a,b aus IR^2 etwa a= (a1,a2) b=b1,b2)

und f(x*a)= x*f(a)

bei 2 entsprechend, ist a= (a₁, ..., a_n)^T  und b= (b₁, ..., b_n)^T also a+b= (a1+b₁, ..., an+b_n)^T

dann ist f(a+b) = a1+b₁+ .....  + an+b_n  = a1+...+ an + b1 +...+bn = f(a)+f(b) ebenso mit  f(x*a)= x*f(a)

3) a+bi ------->  a - bi

also f( a+bi + c+di) = f( (a+c)+(b+d)i ) = (a+c) - (b+d)i

= a-bi  +  c-di      und f( x*(a+bi) ) = f( ax + bxi) = ax - bxi = x (a-bi) = x*f(a+bi)

also auch linear.

Comments

zu 1) ich hab muss ja zeigen das (x,y) → ( 3x + 2y, -x - (2/3)y) wird, wie fang ich da an wenn ich zeigen will das so ist also mit meiner aufgabe weil irgendwie verwirrt mich deine a, b voll  :)

zu 2) okay das versteh ich ein wenig besser ^^

zu 3) des gleiche wie bei 2 :)

ist bei dir 1, 2, 3 alle lineare Abbildungen

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ich hab muss ja zeigen das (x,y) → ( 3x + 2y, -x - (2/3)y) wird, wie fang ich da an wenn ich zeigen will das so ist also mit meiner aufgabe weil irgendwie verwirrt mich deine a, b voll  :)

mach es doch erst mal konkret, sagen wir mal (1/3) das wird zu (9,-3)

und  z.B.  (2/3) wird zu (12,-4)

dann muss ja der Summe (1/3)+(2/3) das wäre (3/6) auch die

Summe von (9,-3) und (12,-4) , also (21,-7) zugeordnet werden. Das stimmt

in diesem Fall.

Du musst das aber für alle Paare zeigen, also mit (a1,a2) und (b1,b2)

oder irgendwelchen anderen Variablen.

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mathef die (2/3) sind bei mir als bruch also 0,6666667 bei mir auch oder?

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Das stimmt schon, aber rechne mal besser mit dem Bruch 2/3 sonst hast du eventuell Rundungsfehler.

wenn du z.B. ausrechnen willst das Bild von (a1+b1, a2+b2) dann bekommst du

( 3(a1+b1) + 2(a2+b2), -(a1+b1) - (2/3)(a2+b2))

und das versuchst du so umzuformen, dass

( 3a1 + 2a2, -a1 - (2/3)a2)   +    ( 3b1 + 2b2, -b1 - (2/3)b2)

dabei herauskommt. Dann hast du es ja !

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okay so hab ich es dann ausprobiert

stimmt es dann das 1), 2) und 3) alle linear sind ??

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klar, hatte ich doch für Nr. 3 neulich sogar schon nachgewiesen,

geh doch den Beweis noch mal durch und poste Probleme.

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ne passt schon :)

des ist nur irgendwie komisch, weil die Aufgabe hat 6 teilaufgaben und ich hab jetzt 5 die linear sind und noch keins das nicht linear ist also bisschen komisch :) aber egal so ist es dann halt :)

also danke für deine Hilfe !!

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mathef  ich hätte bei 3) nochmal eine frage und zwar kommt bei mir nicht linear raus... weil des x ist doch auch ein element von der komplexen zahlen und muss daher doch auch wie eine umgeformt werden und des wegen ist es nicht linear oder??

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f₃ : ℂ → ℂ , z → z¯

a+bi ------->  a - bi

so ist jedenfalls die Zuordnungsvorschrift oder?

wenn du jetzt z1 und z2 aus C hast, sind das

a+bi   und   c+di  .

also f( a+bi + c+di) = f( (a+c)+(b+d)i )

= (a+c) - (b+d)i  Das ist die Zuordnungsvorschrift auf  (a+c)+(b+d)i angewendet.

jetzt Klammern aufgelöst und anders geordnet:

= a-bi  +  c-di    also = f(a+bi) + f(c+di)

  und f( x*(a+bi) ) = f( ax + bxi) = ax - bxi = x (a-bi) = x*f(a+bi)

also auch linear.

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okay ich habs verstanden :)

dein x ist halt bei mir ein λ und z= a+ bi  also ist z ∈ ℂ und λ ∈ ℂ

Answer 2

Mit Abbildungsmatrizen werden lineare Abbildungen beschrieben.

Wenn ihr einen entsprechenden Satz bewiesen habt, könntest du bei f_(1)

einfach die Abbildungsmatrix A hinschreiben.

A =

[ 3,    2

-1,  -2/3 ]

Nun ist

A * [ x, y]^t = [ 3x + 2y, -x - (2/3) y ]^t

Das hochgestellte t steht für 'transponiert'. Also 2 Spaltenvektoren.

Comments

ja Matrizen hatten wir... aber Abbildungsmatrizen noch nicht kommt vielleicht noch :)