Welche der Abbildungen sind linear? Bsp. 1. A: ℝ^3 → ℝ^2, (a,b,c) ↦ (4a + b - 3c, a + 2b)

Question

Welche der folgenden Abbildungen sind linear? (mit Beweis) Falls die Abbildung linear ist, berechnen Sie die Matrix, die zu dieser Abbildung in der Standardbasis gehört. 

1. A: ℝ^3 → ℝ^2, (a,b,c) ↦ (4a + b - 3c, a + 2b)

2. B: ℝ^2 → ℝ^2, v ↦ v+w für ein festes w ∈ ℝ^2 \ {0}

3. C: ℝ^2 → ℝ, (a,b) ↦ a+b

4. D: ℂ^3 → ℂ^3, (a,b,c) ↦ (Re(a), Im(b), c¯)

Ich weiss, dass ich zunächst die kriterien für eine lineare Abbildung durchgehen muss, doch wie genau gehe ich vor?

Answer 1

1. A: ℝ³ → ℝ², (a,b,c) ↦ (4a + b - 3c, a + 2b)

bilde A( (a,b,c) + (x,y,z) ) = ( 4(a+x)+(b+y) - 3*( ...    ,    (a+x) + 2*(b+y) )

und du wirst sehen, das ist das gleiche wie

(4a + b - 3c, a + 2b)  +   (4x + y - 3z, x + 2y).   also additiv.

Dann prüfe, ob  A( x*(a,b,c) ) gleich ist mit  x *    A(a,b,c)  und du

wirst sehen: es ist. also auch homogen, also lin. Abb.

2. B: ℝ² → ℝ², v ↦ v+w für ein festes w ∈ ℝ² \ {0}

ist keine, denn B(2*v) = 2v+w   und  B(v) = v+w

es müsste bei Linearität B(2v) = 2* B(v) sein, also

                                    2v+w = 2*(v+w) also

                                       2v+w = 2v+ 2w

                                                 0 = w im Widerspruch zu w ≠ 0-Vektor.

Die anderen beiden sind wohl wieder linear.

Bei 4. wohl nur wenn es als IR-Vektorraum betrachtet wird ??

Comments

Danke, das hilft mir schonmal weiter!

Nur wie würde dann die Matrix aussehen, bzw. was ist hier mit der Standardbasis gemeint?