Zeige: die Vektoren ... sind genau dann linear abhängig, wenn gilt Char(K) > 0 und Char(K) ist ein Teiler von ...

Question

Es sei K ein Körper, n ∈ ℕ, 1 := (1, ... , 1) ∈ Kⁿ und e₁, ... ,e_n die Standardbasis von Kⁿ.

Zeige:   die Vektoren  1 - e₁, ... ,1 - e_n sind genau dann linear abhängig, wenn gilt Char(K) > 0 und Char(K) ist ein Teiler von n - 1.

Comments

Was ist Char(K)?

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Das ist die Charakteristik des Körpers. In diesem Fall wird sie nicht gleich 0.

Answer 1

Aus \( \sum_{i=1}^n (1-e_1)=(n-1)1\) folgt die Rückrichtung. Für die Hinrichtung sei o.E. \( 1-e_1= \sum _{i=2}^n \lambda_i (1-e_i)=\sum_{i=1}^n \sum_{j\in \{1, \ldots n \}\backslash \{i\} } \lambda_j e_i \). Koeffizientenvergleich liefert \(\sum_{j=2}^n \lambda_j =0 \)(*), \( \sum_{j=3}^n \lambda _j=1 \) und damit \(\lambda_i =-1 \) für alle i. Damit wird (*) zu n-1=0 und damit ist char(K) | n-1