Vektoren sind linear abhängig, wenn einer von ihnen eine Linearkombination der andern ist.

Question

ich sitze gerade an einem Übungsblatt und bin bei der folgenden Aufgabe stecken geblieben:

 

Gegeben seien n ≥ 2 Vektoren v₁,...,v_n in einem K-Vektorraum V. Zeigen Sie: Ist {v₁,...,v_n} linear abhängig, dann gibt es ein v_k, k ∈ {1,...,n}, das sich als Linearkombination der v_i, i = 1,...,n, i ̸= k, schreiben lässt.

 

Ich hab nicht mal eine Idee wie ich hier rangehen könnte, ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen >.<

Comments

wie ist denn lineare Abhängigkeit bei euch definiert, ich würde sagen, dass ist die Definition linearer Abhängigkeit :)

Answer 1

Wenn  {v₁,...,v_n}  linear abhängig ist, dann existiert eine Linearkombination
a₁v₁ + ... + a_nv_n = 0
mit  a_i ∈ ℝ  für  i = 1,...,n  und  a_k ≠ 0  für mindestens ein  k ∈ {1,...,n}.
Es folgt  a_kv_k = -a₁v₁ - ... - a_k-1v_k-1 - a_k+1v_k+1 - ... - a_nv_n.
Da  a_k ≠ 0  ist, ist die Division durch  a_k  erlaubt und
v_k = -(a₁/a_k)v₁ - ... - (a_k-1/a_k)v_k-1 - (a_k+1/a_k)v_k+1 - ... - (a_n/a_k)v_n
ist eine gesuchte Linearkombination.