linearkombination für vektoren die linear abhängig sind

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\( 12: 10 \)
Mittwoch 22. Mai
\( 100 \% \)
\( \times \quad \) MAHA4
MAHA3
MAHA 2
HA1
HA9
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4: Untersuchen Sie, ob die unten gegebenen Vektoren \( \overrightarrow{\mathbf{b}}_{1}, \overrightarrow{\mathbf{b}}_{2} \) und \( \overrightarrow{\mathbf{b}}_{3} \) linear abhängig oder unabhängig sind. Sollten die Vektoren linear abhängig sein, so geben Sie eine Linearkombination
\( \lambda_{1} \cdot \overrightarrow{\mathbf{b}}_{1}+\lambda_{2} \cdot \overrightarrow{\mathbf{b}}_{2}+\lambda_{3} \cdot \overrightarrow{\mathbf{b}}_{3}=\left(\begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right) \)
an, bei der nicht alle Zahlen \( \lambda_{1}, \lambda_{2}, \lambda_{3} \) gleich Null sind.
1. \( \overrightarrow{\mathbf{b}}_{1}=\left(\begin{array}{l}3 \\ 1 \\ 2\end{array}\right), \overrightarrow{\mathbf{b}}_{2}=\left(\begin{array}{l}5 \\ 2 \\ 3\end{array}\right) \) und \( \overrightarrow{\mathbf{b}}_{3}=\left(\begin{array}{l}3 \\ 2 \\ 1\end{array}\right) \).
2. \( \overrightarrow{\mathbf{b}}_{1}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 3 \\ 2\end{array}\right), \overrightarrow{\mathbf{b}}_{2}=\left(\begin{array}{l}3 \\ 1 \\ 3\end{array}\right) \) und \( \overrightarrow{\mathbf{b}}_{3}=\left(\begin{array}{l}3 \\ 2 \\ 1\end{array}\right) \).
\( \begin{array}{l} =3 \cdot(2-6)-(5-9)+2 \cdot(10-6) \\ =-12+4+8 \\ =0 \\ \end{array} \)
linear abhangis
\( \left(\begin{array}{l} 3 \\ 1 \\ 2 \end{array}\right) \)

Aufgabe:

Prüfen ob die vektoren linear abhängig oder unabhängig sind. Sollten die Vektoren linear abhängig sein, so geben Sie eine Linearkombination an, bei der nicht alle Zahlen gleich Null sind.

Problem/Ansatz:

ich hatte es versucht mit dem Gauß algorithmus, bin aber nicht besonders weit gekommen. bein zweiten habe ich bereits raus dass dieser linear unabhängig ist. könnte jemand aushelfen?

Answer 1

Aloha :)

Beim Gauß-Algorithmus sollte dein Ziel sein, mit elementaren Gauß-Umformungen so viele Nullen wie möglich zu erhalten. Dabei gehst du am besten spaltenweise vor. Wenn du das konsequent verfolgst, kommst du an einen Punkt, wo du einfach keine weitere Null mehr hinkriegst. Dann endet der Algorithmus und du kannst das Ergebnis interpretieren.

Bei den ersten 3 Vektoren kann das etwa so aussehen:$$\begin{array}{rrr|c|l}\lambda_1 & \lambda_2 & \lambda_3 & = & \text{Aktion}\\\hline3 & 5 & 3 & 0 &-3\cdot Z_2\\1 & 2 & 2 & 0 &\\2 & 3 & 1 & 0 &-2\cdot Z_2\\\hline\green 0 & -1 & -3 & 0 &\cdot(-1)\\1 & 2 & 2 & 0 &+2\cdot Z_1\\\green0 & -1 & -3 & 0 & -Z_1 &\\\hline0 & \pink1 & 3 & 0 &\Rightarrow\pink{\lambda_2}+3\lambda_3=0\\\pink1 & \green0 & -4 & 0 &\Rightarrow\pink{\lambda_1}-4\lambda_3=0\\0 & \green0 & \green 0 & 0 & \checkmark\end{array}$$

Wenn du so viele Nullen wie mögich generierst hast, schaust du dir die Spalten an. Davon sollte es nun einige geben, die lauter Nullen und genau einen Wert ungleich Null enthalten (hier pink dargestellt). Die erhaltenen Gleichungen stellst du dann nach den zugehörigen pinken Variablen um:$$\pink{\lambda_2}=-3\lambda_3\quad;\quad\pink{\lambda_1}=4\lambda_3$$

Damit kannst du dann alle Lösungen angeben:$$\begin{pmatrix}\lambda_1\\\lambda_2\\\lambda_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\lambda_3\\-3\lambda_3\\\lambda_3\end{pmatrix}=\lambda_3\cdot\begin{pmatrix}4\\-3\\1\end{pmatrix}$$

Es gibt also unendlich viele Tupel \((\lambda_1;\lambda_2;\lambda_3)\) als Lösung des Gleichungssystems, eines davon ist z.B. \((4;-3;1)\). Die 3 Vektoren sind daher linear abhängig.

Beim zweiten Set mit 3 Vektoren könntest du etwa so rechnen::$$\begin{array}{rrr|c|l}\lambda_1 & \lambda_2 & \lambda_3 & = & \text{Aktion}\\\hline1 & 3 & 3 & 0 &\\3 & 1 & 2 & 0 &-3\cdot Z_1\\2 & 3 & 1 & 0 &-2\cdot Z_1\\\hline1 & 3 & 3 & 0 & +Z_3\\\green 0 & -8 & -7 & 0 &-3\cdot Z_3\\\green0 & -3 & -5 & 0 &\cdot(-1)\\\hline1 & \green0 & -2 & 0 &\\0 & 1 & 8 & 0\\0 & 3 & 5 & 0 &-3\cdot Z_2\\\hline1 & 0 & -2 & 0 &\\0 & 1 & 8 & 0 &\\0 & \green0 & -19 & 0 &\div(-19)\\\hline1 & 0 & -2 & 0 &+2\cdot Z_2\\0 & 1 & 8 & 0 &-8\cdot Z_3\\0 & 0 & 1 & 0 &\\\hline\pink1 & 0 & \green0 & 0\\0 & \pink1 & \green0 & 0\\0 & 0 & \pink1 & 0\end{array}$$

Das Gleichungssystem hat nur die triviale Lösung \((0;0;0)\).

Daher sind die 3 Vektoren linear unabhängig.

Comments

mich verwirrt etwas das zweite, da ich dort die determinante 19 hatte es also linear unabhängig sein sollte oder nicht?

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Oha, das verwirrt dich zurecht. Ich habe mit vertippt.

Wenn es nur die triviale Lösung \((0;0;0)\) gibt, sind die Vektoren linear unabhängig.

Answer 2

Wenn man sieht, dass b1 und 2 linear unabhängig sind, kann man auch immer versuchen b3 als Linearkombination von b1 und b2 darzustellen.

a)

r·[3, 1, 2] + s·[5, 2, 3] = [3, 2, 1] --> r = -4 ∧ s = 3

Dann ist also -4·b1 + 3·b2 - b3 = 0

b)

r·[1, 3, 2] + s·[3, 1, 3] = [3, 2, 1] → keine Lösung

Damit gibt es nur die Triviallösung

0·b1 + 0·b2 + 0·b3 = 0