Linearkombination von 2 Vektoren als beweis

Question

Aufgabe:

a)  Stelle den Vektor v=(6|-2|-1) als Linearkombination von (3|1|2) und (2|2|3) dar.

b) Untersuche, ob die Vektoren (2|1|-3) ; (1|2|4) und (5|4|1) linear unabhängig sind.

Die Zahlen stehen im original untereinander

Problem/Ansatz:

Ich habe leider keine Ahnung wie ich diese Aufgabe lösen soll.

Mein erster Gedanke war Gauß verfahren, also

3x+1y=2z

2x+2y=3z

6x+(-2)y=(-1)z

aber habe diesen Gedanken wieder verworfen da ich keinen nutzen darin sah, vielleicht war er auch richtig, oder halt komplett vorbei.

danke für antworten

Answer 1

Besser so:

3x+2y=6

1x+2y=-2

2x+3y=(-1)

Gibt x = 4 und  y = -3 , also ist die Linearkombination

(6|-2|-1) = 4* (3|1|2) -3 * (2|2|3) .

b) Prüfe ob

x*(2|1|-3) +y* (1|2|4) +z* (5|4|1) = (0|0|0)

andere Lösungen als nur x=y=z=0 hat.

Wenn ja, dann sind sie linear abhängig.

Comments

Danke für die Antwort,

a habe ich nun verstanden

bei b kann ich dir jedoch nicht richtig folgen, muss ich jetzt für x,y,z eine Variable suchen? oder was muss ich mit den zahlen machen?

---

x*(2|1|-3) +y* (1|2|4) +z* (5|4|1) = (0|0|0)

Du musst das LGS

2x+y+5z=0

x+2y+4z=0

-3x+4y+z=0    lösen (Gauß-Algorithmus)

[Zur Kontrolle: die einzige Lösung ist   (x,y,z) = (0,0,0)]