Aussage über Vektoren beweisen

Question

Aufgabe:

Gegeben seien zwei Vektoren a und b in R^5, a = (1,2,3,4,5)^T, b = (1,1/2,1/3,1/4,1/5)^T .

Bestimmen Sie zwei Vektoren c und d in R^5 so, dass die folgenden Bedingungen erfüllt
sind:
b=c+2d, d⊥a und c∥a.

Vielen Dank für Lösungen bzw. Lösungsansätze

Answer 1

b=c+2d, d⊥a und c∥a.

c∥a ==>  Es gibt ein x∈ℝ  mit  c = x*(1,2,3,4,5)^T

d⊥a ==>  d*a = 0   #

b=c+2d ==>   d = (b-c) / 2

                          = (  (1,1/2,1/3,1/4,1/5)T  -  x*(1,2,3,4,5)T  ) / 2

                          = ( (1-x)/2 , (1-4x)/4 , ( 1 -9x)/6 , ( 1 - 16)/8 , ( 1-25x)/10 )^T

in # einsetzen gibt  5/2 - x*55/2 = 0

==>   x = 1/11, also

c= (1/11,2/11,3/11,4/11,5/11)T

und wegen   d = (b-c) / 2 also

d = ( 5/11 , 7/44 , 1/33 , -5/88 , -7/55 )^T