Aussage zu beweisen, also ob es wahr oder falsch ist?

Question

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(ii) Ist \( p(t)=d(t) q(t)+r(t) \) mit \( d(t) \neq 0 \), so ist \( \operatorname{deg} r(t)<\operatorname{deg} p(t) \).
(iii) Jedes Polynom \( p(t) \in K[t] \) mit \( \operatorname{deg} p(t)=1 \) hat eine Nullstelle.
(iv) Jedes Primpolynom \( p(t) \in \mathbb{Z}_{2}[t] \) hat \( \operatorname{Grad} \operatorname{deg} p(t) \leq 2 \).

Hallo, könnte mir vielleicht jemand helfen, die 2. Aussage zu beweisen, also ob es wahr oder falsch ist? Vielen Dank

Answer 1

Sei \( p(t) \in K[t] \) mit \( \operatorname{deg} p(t)=1 \) ,

dann gibt es a≠0 und b aus K mit p(t)=a*t+b

==> Da K ein Körper und a≠0 gibt a^-1 ∈ K

und dann ist auch a^-1*b ∈ K.

p(a^-1* (-b) ) = a*a^-1 *(-b) + b = -b+b = 0

also ist dort eine Nullstelle. q.e.d.