Sind alle Geraden in der Ebene durch die Geradengleichung der Form y=mx+b gegeben?

Question

Aufgabe:

Wir betrachten die Menge der Geraden in der euklidischen Ebene R^2. Sind alle Geraden in der Ebene durch die Geradengleichung der Form y=mx+b gegeben?

Problem/Ansatz:

Durch meine Mitschriften habe ich folgende Antwort überlegt stimmt das?

Nein, nicht alle Geraden in der euklidischen Ebene sind durch die Geradengleichung der Form \( y = mx + b \) gegeben. Diese Form wird als die Steigungs-Achsenabschnitts-Form einer Geradengleichung bezeichnet. Es ist eine spezifische Darstellung einer Geraden, die angibt, wie die y-Koordinate in Bezug auf die x-Koordinate variiert.

Es gibt andere Formen von Geradengleichungen, die verschiedene Aspekte einer Geraden darstellen können, wie zum Beispiel die Punkt-Steigungs-Form \( y - y_1 = m(x - x_1) \), die Zwei-Punkt-Form \( (y - y_1) = \frac{{y_2 - y_1}}{{x_2 - x_1}}(x - x_1) \), die Normalform \( Ax + By = C \) und andere.

Answer 1

Das sind nur verschiedene Darstellungsformen, die sich alle ineinander überführen lassen. Die Frage ist, ob du wirklich jede gerade in der Ebene durch y=mx+b darstellen kannst. Wenn nicht, welche nicht?

Comments

Dann würde ich sagen man kann jede darstellen nur der Beweis fehlt mir

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~plot~ x=3 ~plot~

wie groß ist \(b\) bei der blauen Geraden?

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Wie nennt man solche Geraden/Parallelen zur y-Achse?

Wie nennt man sowas wie x= a, wenn damit eine solche Senkrechte gemeint ist?

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Das sind nur verschiedene Darstellungsformen, die sich alle ineinander überführen lassen.

Nein. Die Form \( Ax + By = C \) lässt sich nicht in jedem Fall in die Form

\( y = mx + b \) überführen.

\( Ax + By = C \)  ist die universelle Form, die auch den durch \( y = mx + b \) nicht erfassten Fall

x=const

umfasst.

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Also stimmt meine Aussage oben?

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Also stimmt meine Aussage oben?

Nein deine Aussage stimmt argumentativ nicht.

Du benennst

\( y - y_1 = m(x - x_1) \), die Zwei-Punkt-Form \( (y - y_1) = \frac{{y_2 - y_1}}{{x_2 - x_1}}(x - x_1) \),

als Gegenbeispiele zu   \( y = mx + b \), obwohl das auch nur andere Formulierungen für  \( y = mx + b \)  sind.

Das einzige Gegenbeispiel ist \( Ax + By = C \), aber ich kann nicht erkennen, dass dir das bewusst war.

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Wie leitet man das denn her

Answer 2

Eine lineare Funktion der Form

y = mx + b

kann keine parallele zur y-Achse darstellen. Also sowas wie

x = c

Kann man damit nicht darstellen. Das geht mit der Koordinatenform

ax + by = c

Damit lassen sich alle Geraden darstellen.