Question

Aufgabe:Gegeben ist die Funktion f(x)=−4x^2⋅3^x wie ist die erste Ableitung mittels der Produktregel?

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3^x = e^(x*ln(3))

Answer 1

u= - 4x^2, u' = -8x

v = 3^x, v*= 3^x*ln3

-> - 8x*3^x - 4x^2*ln3*3^x =  -4x*3^x*(2+x*ln3)

https://www.ableitungsrechner.net/

Es gilt:

f(x) = a^x -> f '(x)= f(x)*lna = lna*a^x

Answer 2

\(f(x)=−4x^2 \cdot  3^{x} \)

\(f'(x)=−8x \cdot 3^{x}+(-4x^2 )\cdot 3^{x} \cdot log(3)\)

\(f'(x)=−8x \cdot 3^{x}-4x^2 \cdot 3^{x} \cdot log(3)\)

\(f'(x)= -3^{x} \cdot (4x^2\cdot log(3)+8x )\)

Comments

Wie bekomme ich x aus dem exponenten (runter)?

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Wie bekomme ich x aus dem Exponenten (runter)?

Was meinst du damit? Wie möchtest du weiter machen?

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3^x = e^(ln3^x) = e^(x*ln3)

Es gilt:

f(x) = e^(g(x)) -> f '(x)= f(x)*g'(x)

Warum willst du es herunterholen?

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Man muss es doch runterholen um mit Der Kurvendiskussion weiterzumachen.

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\( -3^{x} \cdot (4x^2\cdot log(3)+8x )\)

Extremstellen bestimmen:

\( -3^{x} \cdot (4x^2\cdot log(3)+8x )=0\)

Satz vom Nullprodukt:

\( -3^{x} ≠0\)

\( 4x^2\cdot log(3)+8x=0\)

\( x^2\cdot log(3)+2x=0\)

\( x\cdot(x \cdot log(3)+2)=0\)

\(x_1=0\) 

\( x_2=-\frac{2}{log(3)}\)

Art der Extrema 2. Ableitung. \(f''(x_1)=...\)  und \(f''(x_2)=...\)

Wendepunkt:

\(f''(x)=0\) setzen.

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Nullstellen:

-4x^2*3^x = 0

Satz vom Nullprodukt:

-4x^2=0

x=0

3^x wird nicht Null.

Extrema:

-4x*3^x*(2+x*ln3) = 0

-4x = 0  v 2+x*ln3 = 0

WP:

f ''(x) = 0

...

Du musst x nicht herunterholen.

Nur wenn z.B. gesucht ist:

3^x= 5

x= ln5/ln3

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wie lautet dann die zweite Ableitung?

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\( f'(x)=-3^{x} \cdot (4x^2\cdot log(3)+8x )\)

\(u=-3^{x}\)     →\(u'=-3^{x}\cdot log(3)\)

\( v=4x^2\cdot log(3)+8x \)   →\(v'=8x\cdot log(3)+8\)

Nun mit den Regeln der Differenzierung von Produkten zusammenführen.