Für mit einander multiplizierbare Matrizen \(X,Y\) gilt \((XY)^T=Y^TX^T\).
a) Also hat man
\((S^TAS)^T=S^TA^T(S^T)^T=S^TA^TS\).
Da \(A\) symmetrisch ist, gilt \(A^T=A\), so dass
\(S^TA^TS=S^TAS\) ist, d.h. \(S^TAS\) ist symmetrisch.
b) Für addierbare Matrizen \(X,Y\) gilt \((X+Y)^T=X^T+Y^T\), also
\(A^T=(E_n-\alpha v\cdot v^T)^T=E_n^T-\alpha(v^T)^T\cdot v^T=E_n-\alpha v\cdot v^T=A\).
Sei nun \(\alpha=2/(v^T\cdot v)\). Dann bekommt man
\(AA=E_n-2\alpha v\cdot v^T+\alpha^2(v\cdot v^T)(v\cdot v^T)=\)
\(e_n-\frac{4}{v^T\cdot v}+\frac{4}{(v^T\cdot v)^2}(v\cdot (v^T\cdot v)\cdot v^T)\).
Da \(v^T\cdot v\) ein Skalar ist, also vor das Matrizenprodukt gezogen werden kann,
ergibt sich daraus
\(E_n-\frac{4}{v^T\cdot v}(v\cdot v^T)+\frac{4}{v^T\cdot v}(v\cdot v^T)=E_n\)
