c[f]b=c[idy]c`*c´[f]b´*b´[idx]b
Das ist schon mal hilfreich.
Jede Matrix \(A\in K^{m\times n}\) mit \(\mathrm{rg}(A) = k\) kann durch elementare Zeilen- und Spaltenumformungen auf die Form
\(A' = \begin{pmatrix}E& Z_1\\Z_2&Z_3\end{pmatrix}\)
gebracht werden, wobei
die Einheitsmatrix ist, und
- \(Z_1\in K^{k\times n-k}\),
- \(Z_2\in K^{m-k\times k}\),
- \(Z_3\in K^{m-k\times n-k}\)
Nullmatrizen sind.
Zeilen- und Spaltenumformungen können mittels Multiplikation mit invertierbaren Matrizen von links bzw. rechts ausgedrückt werden, d.h. es gibt invertierbare \(Z\in K^{n\times n}\) und \(S\in K^{m\times m}\) mit
\(A' = Z\cdot A\cdot S\).
Sei nun \(A'' \in K^{m\times n}\) mit \(\mathrm{rg}(A'') = k\) und \(Z''\in K^{n\times n}\) und \(S''\in K^{m\times m}\) mit
\(A' = Z''\cdot A''\cdot S''\),
dann ist
\(A'' = (Z'')^{-1}\cdot Z\cdot A\cdot S\cdot (S'')^{-1}\).
Dabei sind \((Z'')^{-1}\cdot Z\) und \(S\cdot (S'')^{-1}\) invertierbar, sind also Basiswechelmatrizen der jeweiligen Identitätsabbildung bei geeigneter Basis.
