c[f]b=c[idy]c`*c´[f]b´*b´[idx]b
Das ist schon mal hilfreich.
Jede Matrix A∈Km×n mit rg(A)=k kann durch elementare Zeilen- und Spaltenumformungen auf die Form
A′=(EZ2Z1Z3)
gebracht werden, wobei
- E∈Kk×k
die Einheitsmatrix ist, und
- Z1∈Kk×n−k,
- Z2∈Km−k×k,
- Z3∈Km−k×n−k
Nullmatrizen sind.
Zeilen- und Spaltenumformungen können mittels Multiplikation mit invertierbaren Matrizen von links bzw. rechts ausgedrückt werden, d.h. es gibt invertierbare Z∈Kn×n und S∈Km×m mit
A′=Z⋅A⋅S.
Sei nun A′′∈Km×n mit rg(A′′)=k und Z′′∈Kn×n und S′′∈Km×m mit
A′=Z′′⋅A′′⋅S′′,
dann ist
A′′=(Z′′)−1⋅Z⋅A⋅S⋅(S′′)−1.
Dabei sind (Z′′)−1⋅Z und S⋅(S′′)−1 invertierbar, sind also Basiswechelmatrizen der jeweiligen Identitätsabbildung bei geeigneter Basis.