Matrizen, Basen, Rang und Dimension des Bildes: Wie kann ich diese Aussage zeigen?

Question

Hi, ich komme bei einer speziellen Aufgabe irgendwie nicht wirklich klar:

Seien \( K \) -Vektorräume \( X \) bzw. \( Y \) der Dimensionen \( n \) bzw. \( m \) gegeben. Sei \( f: V \rightarrow W \) eine lineare Abbildung. Zeigen Sie, dass jede Matrix \( A \in K^{m \times n} \) vom Rang \( \operatorname{rg}(A)=\operatorname{dim} \operatorname{im} f \) mit passenden Basen \( B \) von \( X \) und \( C \) von \( Y \) die lineare Abbildung \( f \) beschreibt, d. h. \( c[f]_{B}=A \)

Die Aussage an sich leuchtet mir schon ein (hoffe ich zumidest:D) aber ich habe keine wirkliche Idee wie ich bei dem Beweis vorgehen muss...

Habe es bereits mit dieser Formel versucht aber bin gescheitert (tut mir leid für die blöde Darstellung aber ichhabe die Formel nicht mit Latex hinbekommen):

_c[f]_b=_c[idy]_c`*_c´[f]_b´*_b´[idx]_b

Wisst ihr vielleicht weiter?
Bin dankbar für jede Hilfe:)
LG

Answer 1

_c[f]_b=_c[idy]_c`*_c´[f]_b´*_b´[idx]_b

Das ist schon mal hilfreich.

Jede Matrix \(A\in K^{m\times n}\) mit \(\mathrm{rg}(A) = k\) kann durch elementare Zeilen- und Spaltenumformungen auf die Form

        \(A' = \begin{pmatrix}E& Z_1\\Z_2&Z_3\end{pmatrix}\)

gebracht werden, wobei

• \(E\in K^{k\times k}\)

die Einheitsmatrix ist, und

• \(Z_1\in K^{k\times n-k}\),
• \(Z_2\in K^{m-k\times k}\),
• \(Z_3\in K^{m-k\times n-k}\)

Nullmatrizen sind.

Zeilen- und Spaltenumformungen können mittels Multiplikation mit invertierbaren Matrizen von links bzw. rechts ausgedrückt werden, d.h. es gibt invertierbare \(Z\in K^{n\times n}\) und \(S\in K^{m\times m}\) mit

        \(A' = Z\cdot A\cdot S\).

Sei nun \(A'' \in K^{m\times n}\) mit \(\mathrm{rg}(A'') = k\) und \(Z''\in K^{n\times n}\) und \(S''\in K^{m\times m}\) mit

        \(A' = Z''\cdot A''\cdot S''\),

dann ist

        \(A'' = (Z'')^{-1}\cdot Z\cdot A\cdot S\cdot (S'')^{-1}\).

Dabei sind \((Z'')^{-1}\cdot Z\) und \(S\cdot (S'')^{-1}\) invertierbar, sind also Basiswechelmatrizen der jeweiligen Identitätsabbildung bei geeigneter Basis.