Lineare Algebra (Normen): Aussage beweisen

Question

Aufgabe:

Seien a, b und c drei Vektoren, die ungleich Null sind. Zeigen Sie: Wenn die Gleichung
c = ||a||·b + ||b||·a gilt, dann halbiert c den Winkel zwischen a und b.

Vielen Dank:)

Answer 1

Der cos des Winkels zwischen zwei Vektoren u und v ist u*v / ( ||u||*||v||.

Nimm für u und v mal a und c, dann hast du für den cos

a*c / (||a||*||c||) = a*( ||a||·b + ||b||·a) /  (||a||*||c||) #

und für b und c

b*c / (||b||*||c||) = b*( ||a||·b + ||b||·a) /  (||b||*||c||) .##

Bleibt zu zeigen, dass # und ## gleich sind:

a*( ||a||·b + ||b||·a) /  (||a||*||c||)  =  b*( ||a||·b + ||b||·a) /  (||b||*||c||)

( ||a||·b·a + ||b||·a·a) /  (||a||*||c||)  =  ( ||a||·b·b + ||b||·a·b) /  (||b||*||c||)       | * ||c||

( ||a||·b·a + ||b||·a·a) /  ||a||  =  ( ||a||·b·b + ||b||·a·b) /  ||b||                | * ||a|| *||b|| 

( ||a||·b·a + ||b||·a·a)*||b||  =   ( ||a||·b·b + ||b||·a·b) *   ||a||

Und das stimmt ja (Klammern auflösen !)