Beweisen mehrerer Normen

Question

Aufgabe:

Sei ∥ · ∥ eine Norm auf Rn und ∥ · ∥^∗ : Rⁿ → R definiert durch
∥x∥^∗ := max{ |x · y| : y ∈ Rⁿ mit ∥y∥ = 1 }

Man nennt ∥ · ∥^∗ die zu ∥ · ∥ duale Norm. Zeigen Sie:

a) ∥ · ∥^∗ ist tatsächlich eine Norm.
b) Wenn ∥ · ∥ die Maximumsnorm ist (also ∥ · ∥ = ∥ · ∥_∞), dann ist ∥ · ∥^∗ die Betragssummennorm (also ∥ · ∥^∗ = ∥ · ∥₁)
c) Wenn ∥ · ∥ die euklidische Norm ist (also ∥ · ∥ = ∥ · ∥₂), dann ist auch ∥ · ∥^∗ die euklidische Norm.
Hinweis: Verwenden Sie die Cauchy-Schwarz-Ungleichung.
d) Für alle y ∈ Rⁿ gilt ∥y∥^∗∗ ≤ ∥y∥
Hinweis: Betrachten Sie max_y:∥y∥=1 ∥y∥^∗∗.

Problem/Ansatz:

Ich habe viele Verständnisschwierigkeiten. Ich verstehe schon die Definition von ∥ · ∥^∗ nicht. Warum hat |x · y| nur einen Betragsstrich? Was bedeutet der genau? Und ich habe immer noch nicht verstanden, was maximale und minimale Elemente sind, könnte mir das bitte jemand erklären?

Und was genau bedeuten in b) und c) ∥ · ∥_∞, ∥ · ∥₁ und ∥ · ∥₂? Und max_y:∥y∥=1 ∥y∥^∗∗ in d)?

Ich wäre für jede Erklärung sehr dankbar!

Comments

Warum liest Du nicht in Deinem Lehrmaterial oder im WEB nach, was Maximum und Minimum bedeuten?

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Ich habe das schon öfter nachgeschaut, aber nie wirklich verstanden. Ich habe mir dann gedacht, minmale Elemente sind vielleicht die Elemente der kleinsten Äquivalenzklasse, aber ich glaube nicht, dass das stimmt. Darum habe ich gedacht, ich frage mal, ob mir jemand helfen kann. Genau wie die anderen Fragen, die ich oben gestellt habe.

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Wenn Du die Angaben/Schreibweisen in Deinen Unterlagen nicht verstehst, kannst Du dazu ja hier eine konkrete Frage stellen. In Deinen Unterlagen gibt es sich auch Beispiele, dies nicht anschauen, sondern durcharbeiten (z.B. durch Durchrechnen eigener Beispiele).

Das alles kommt aber eine ganze Weile bevor man die erste Aufgabe dazu angehen kann.

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Ich habe diese Frage wirklich nicht einfach reingestellt, weil ich zu faul bin, sie selbst zu lösen oder selbst zu recherchieren, sondern weil ich lange überlegt habe, was die Definition der Norm ∥ · ∥^∗ bedeutet und ich es nicht verstanden habe, und ich so die ganze Aufgabe nicht lösen kann.

Jetzt möchte ich noch einmal fragen: Ist |x · y| wie der ganz normale Betrag von Vektoren und |x · y|=\( \sqrt{x1+x2+...+xn} \) · \( \sqrt{y1+y2+...+yn} \)? Oder ist es etwas anderes?

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Mach Dir erstmal klar, wovon Du redest: \(x\cdot y\) ist eine Zahl, nämlich das Skalarprodukt zweier Vektoren. Davon wird dann der normale Absolutbetrag genommen.