Rechne einfach nach:
⟨v-⟨v,w⟩*w, v-⟨v,w⟩*w⟩
= <v,v> - <v,w>*<w,v> - <v,w>*<w,v> + <v,w>^2*<w,w>
wegen der Normierung ist <v,v>=1 und <w,w>=1
=1 - <v,w>*<w,v> - <v,w>*<w,v> + <v,w>^2
=1 - <v,w>^2 - <v,w>^2 + <v,w>^2 = 1 - <v,w>^2
Also ist 1 - <v,w>^2 das Skalarprodukt des Vektors v-⟨v,w⟩*w
mit sich selbst und wegen der pos. Definitheit also nicht negativ:
1 - <v,w>^2 ≥ 0
<=> 1 ≥ <v,w>^2
Und wenn das Quadrat kleiner gleich 1 ist,
dann auch der Betrag.
<=> 1 ≥ |<v,w>|