Vektoren. Skalarprodukt. Beweise von Betragsgleichung und Betragsungleichungen

Question

A)Wenn ~y ein Vielfaches von ~x ist, dann gilt |~x · ~y| = |~x| · |~y|.
b) Wenn |~x · ~y| = |~x| · |~y| gilt, dann ist ~y ein Vielfaches von ~x oder ~x ist der Nullvektor.
c) Es gilt die Cauchy-Schwarz-Ungleichung: |~x · ~y| ≤ |~x| · |~y|

~ steht für Vektor

Wie kann ich diese Aussagen beweisen ?

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Vom Duplikat:

Titel: Beweis von Ungleichungen

Stichworte: ungleichungen,beweis

a) Wenn ~y ein Vielfaches von ~x ist, dann gilt |~x · ~y| = |~x| · |~y|.

b) Wenn |~x · ~y| = |~x| · |~y| gilt, dann ist ~y ein Vielfaches von ~x oder ~x ist der Nullvektor.

c) Es gilt die Cauchy-Schwarz-Ungleichung:

~  stwht für Vektor

Wie kann man diese Aussagen beweisen ?

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Vom Duplikat:

Titel: Beweis einer Ungleichung

Stichworte: ungleichungen,beweis

a) Wenn ~y ein Vielfaches von ~x ist, dann gilt |~x · ~y| = |~x| · |~y|.
b) Wenn |~x · ~y| = |~x| · |~y| gilt, dann ist ~y ein Vielfaches von ~x oder ~x ist der Nullvektor.

Könnte mir jemand bei den beiden Aufgaben aushelfen ?

Danke

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Vom Duplikat:

Titel: Beträge und Vektoren

Stichworte: vektoren,betrag,betragsgleichung,studium

Hallo

ich habe Probleme die aufgabe zu lösen. Ich sitze schon seit 2 stunden an dieser Aufgabe und komme nicht weiter.

Bitte helfen Sie mir.

Mein Ansatz ist ∝x für y einzusetzen doch dann komme ich nicht auf das was gegeben ist.

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Die Aufgabe wird nicht gut behandelt in der anderen Frage.

Dort spricht man in der einzigen Antwort von Summen von x und y.

Bei mir sind es aber Multiplikationen.

Außerdem wird nicht richtig auf die Formeln eingegangen.

Ich bitte um Hilfe bezüglich DIESER Formeln.

Danke

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~ steht für Vektor

a) und b) habe ich in den letzten Tagen schon mehrfach gesehen.

Damals mit anderer Vektordarstellung. D.h. die Antwort auf diese Fragen gibt es bestimmt schon.

c) findest du z.B. hier 

Die Aufgabe wird nicht gut behandelt in der anderen Frage.

Dort spricht man in der einzigen Antwort von Summen von x und y.

https://de.wikipedia.org/wiki/Skalarprodukt Im kartesischen Koordinatensystem ist ein Skalarprodukt eine Summe. Du darfst selbstverständlich auch mit der Definition des Skalarprodukts arbeiten, in der kommt der Cosinus vor. Probier das mal.

Answer 1

Hallo

 schreib die Behauptung erst mal hin,

|Σ x_iy_i|=√(Σx_i^2)*√(Σy_i^2) bzw. |Σ xiyi|<=√(Σxi^2)*√(Σyi^2) am besten erst das 2 te zeigen, und dabei = nur für x=a*y

(Wenn ihr die Formel x*y=|x|*|y|*cos(α) verwenden dürft ist is ganz einfach.)

quadrieren hilft, und vielleicht erst mal für x,y in R^2 machen, dann sieht man wie es läuft,

Gruß lul

Comments

Wie genau meinst du das (unübersichtlich)?

Es sind 3 verschiedene Teilaufgaben

Answer 2

Hallo

 x=(x1,x2) y=(y1,y2)

jetzt rechne das Skalarprodukt aus und das Produkt der Beträge, da dann alles positiv ist kannst du quadrieren. und aus (a-b)^2>=0 schließen a^2+b^2>=2ab

 Gruß lul