Wie kann ich mit der Cauchy Ungleichung und einem besonderen Skalarprodukt diese Aussage beweisen?

Question

Aufgabe:

Betrachten Sie \(ℝ^{3} \) mit der Bilinearform
⟨x,y⟩ = −x1y1 + x2y2 + x3y3.
Sei x ∈ \(ℝ^{3} \)
. Wir sagen, dass: x raumartig ist, wenn ⟨x,x⟩ > 0,
x lichtartig ist, wenn ⟨x,x⟩ = 0 und x zeitartig ist, wenn ⟨x,x⟩ < 0.

(a) Sei x = (x1, x2, x3) ∈ \(ℝ^{3} \)
ein Vektor. Beweisen Sie folgende Aquivalenzen: ¨
x ist raumartig ⇐⇒ x₁²< x₂²+ x₃²
x ist zeitartig ⇐⇒ x₁²>x₂²+ x₃²
x ist lichtartig ⇐⇒ \( x_1^2 = x_2^2 + x_3^2 \).
(b) Beweisen Sie:
Ein Vektor x ∈ \(ℝ^{3} \) \ {0} ist genau dann zeitartig, wenn {y ∈ \(ℝ^{3} \) \ {0} | ⟨x, y⟩ = 0}
nur raumartige Vektoren enthält.
Hinweis: Die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung ( \( \sum\limits_{i=1}^{n}{x_i*y_i} \) )²<=\( \sum\limits_{i=1}^{n}{x_i ^2} \) *\( \sum\limits_{i=1}^{n}{y_i ^2} \) für \(ℝ^{n} \)

a) konnte ich leicht lösen, bei b) stehe ich leider auf dem Schlauch.
Problem/Ansatz:

Mein Ansatz wäre, die beiden Richtungen der Äquivalenz separat zu beweisen, ich habe es auch schon versucht, durch Widersprüche zu beweisen. Ich schaffe es allerdings nicht, das gegebene in eine brauchbare Form zu bringen, sodass ich die Cauchy Ungleichung anwenden könnte.

Vielen Dank für die Hilfe!

Answer 1

Es sei als x zeitartig, also \(x_1^2>x_2^2+x_3^2\) und y mit \(\langle x,y\rangle\)=0. dann folgt:

$$4x_1^2y_1^2=(2x_1y_1)^2=(x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3)^2 \leq (x_1^2+x_2^2+x_3^2)(y_1^2+y_2^2+y_3^2)\\\quad <2x_1^2(y_1^2+y_2^2+y_3^2) \Rightarrow 2y_1^2<(y_1^2+y_2^2+y_3^2)$$

Also ist y raumartig.

Umgekehrt: Wenn die angegebene Bedingung erfüllt ist, dann wählen wir eine geeignetes Element y aus der Menge

$$y:=(x_2^2+x_3^2,\;x_1x_2,\,x_1x_3)$$

Weil dann y raumartig ist, folgt:

$$(x_2^2+x_3^2)^2<x_1^2x_2^2+x_1^2x_3^2 \Rightarrow x_2^2+x_3^2<x_1^2$$

Comments

Ah, danke! Voll elegant :)

Ich soll nun noch zeigen, dass die Summe x+y auch zeitartig ist, wenn x und y zeitartig sind, und x1y1>0 gilt. Hast du da auch ein Tipp?

Ich muss also zeigen, dass (x1+y1)^2>(x2+y2)^2+(x3+y3)^2, oder?
ich habe bisher angefangen links auszumultiplizieren zu
x1^2+2x-1y1+y^2, das ist größer als x1^2+y1^2, da x1y1>0, und das ist größer als x2^2+x3^2+y2^2+y3^2, da x und y zeitartig sind.

Zu zeigen wäre ja, dass (x1+y1)^2 auch grösser ist als (x2+y2)^2+(x3+y3)^2, aber das kriege ich nicht in diese Ordnung rein. Wenn ich es ausmultipliziere, kommen Therme dazu, die es größer machen könnten als x2^2+x3^2+y2^2+y3^2, daher bringt mir das nichts..

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Wenn Du ausmultiplizierst, was zu zeigen ist, dann fehlt Die doch die Ungleichung

x1y1>x2y2+x3y3

Die bekommst Du aus der Cauchy Ungleichung, analog zu oben