Beweis, dass eine gegebene Funktion eine Metrik ist

Question

Hallo Mathelounge community,

Ich habe wieder mal einen Ansatz jedoch keine Ahnung ob das richtig wäre, und wollte fragen ob mir jemand vlt. helfen könnte und darüber schauen könnte.
Danke im voraus!

Die Aufgabe:

Beweisen Sie, dass eine Abbildung d : A × A −→ R genau dann eine Metrik
auf der Menge A ist, wenn

∀x, y ∈ A :d(x, y) = 0 ⇔ x = y

und

∀x, y, z ∈ A :d(x, y) ≤ d(z, x) + d(y, z)

gelten.

Mein Ansatz:

Um zu beweisen, dass eine Funktion d:A×A→R genau dann eine Metrik auf der Menge A ist, wenn die gegebenen Bedingungen erfüllt sind:

1)
Nicht-Negativität: Für alle x,y∈A , ist d(x,y)≥0 und d(x,y)=0 genau dann, wenn x=y

2)
Symmetrie: Für alle x,y∈A , ist d(x,y)=d(y,x)
3)
Dreiecksungleichung: Für alle x,y,z∈A, ist d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y)

Da die ersten beiden Eigenschaften gegeben wurden, muss man nur noch die dritte beweisen:

Angenommen, die Funktion a erfüllt die ersten beiden Eigenschaften. Dann müssen wir zeigen, dass für alle x,y,z∈A
gilt:
d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y)
Da d die Eigenschaften der Nicht-Negativität und Symmetrie erfüllt, wissen wir, dass d(x,y), d(x,z) und d(z,y) alle nicht-negativ sind und dass d(x,y)=d(y,x) und d(x,z)=d(z,x).
Daher ist d(x,y)+d(y,z)≥d(x,z) , was die Dreiecksungleichung ist.
Daher ist d eine Metrik auf A

Answer 1

Du wirfst hier einiges durcheinander, weshalb das nur zu Problemen führen kann.

Um zu beweisen, dass eine Funktion d:A×A→R genau dann eine Metrik auf der Menge A ist, wenn die gegebenen Bedingungen erfüllt sind:

1)
Nicht-Negativität: Für alle x,y∈A , ist d(x,y)≥0 und d(x,y)=0 genau dann, wenn x=y

2)
Symmetrie: Für alle x,y∈A , ist d(x,y)=d(y,x)
3)
Dreiecksungleichung: Für alle x,y,z∈A, ist d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y)

Erstmal ist dieser Satz unvollständig. Um zu beweisen, ... was dann? Und zweitens ist etwas ganz anderes zu beweisen, denn hier gäbe es nichts zu beweisen, da diese 3 Bedingungen die Definition einer Metrik sind.

Da die ersten beiden Eigenschaften gegeben wurden, muss man nur noch die dritte beweisen:

Auch das stimmt so nicht. Die erste Bedingung wird nicht korrekt so voraussgesetzt und die zweite wird gar nicht vorausgesetzt, sondern die dritte.

Damit hat dein Beweis nichts mit der eigentlichen Aufgabe zu tun.

Zu beweisen ist, dass wenn die Dreiecksungleichung gilt und \(d(x,y)=0 \Leftrightarrow x=y\) für alle \(x,y\) gilt, dass damit automatisch auch die Symmetrie und \(d(x,y)>0\) für alle restlichen \(x\) und \(y\) erfüllt sind. Arbeite bitte sorgfältig und schaue genau, welche Voraussetzungen gegeben sind und was zu zeigen ist. Es hilft, sich das erstmal nochmal sauber aufzuschreiben. Das hat hier im Forum jedenfalls nicht funktioniert.

Comments

Erstmal danke für deine antwort.
Also soweit ich verstanden habe, besteht die Aufgabe darin, zu beweisen, dass eine Funktion d, die die Bedingungen d(x,y)=0⇔x=y und die Dreiecksungleichung erfüllt, auch die Eigenschaften der Symmetrie und der strikten Positivität erfüllt. Das bedeutet, dass d(x,y) = d(y,x) für alle x,y∈A (Symmetrie) und d(x,y)>0 für alle x=y
(strikte Positivität). Diese beiden Eigenschaften sind notwendig, um d als eine Metrik auf der Menge A zu klassifizieren.
wäre dann dieser übnerarbeitete beweis richtig?

Symmetrie:

Angenommen, d(x,y) ≠ d(y,x) für einige x,y ∈ A .Ohne Einschränkung der Allgemeinheit können wir annehmen, dass d(x,y) > d(y,x). Dann haben wir d(x,y)≤d(y,x) + d(x,x)=d(y,x)
, was ein Widerspruch ist. Daher muss d(x,y)=d(y,x) für alle x,y ∈ A gelten.

Strikte Positivität:

Angenommen, es gibt x ≠ y mit d(x,y) = 0. Nach der ersten Bedingung impliziert dies, dass x = y , was ein Widerspruch ist. Daher muss d(x,y) > 0 für alle x ≠ y gelten.

Daher ist d eine Metrik auf A.

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Erstmal danke für deine antwort.
Also soweit ich verstanden habe, besteht die Aufgabe darin, zu beweisen, dass eine Funktion d, die die Bedingungen d(x,y)=0⇔x=y und die Dreiecksungleichung erfüllt, auch die Eigenschaften der Symmetrie und der strikten Positivität erfüllt. Das bedeutet, dass d(x,y) = d(y,x) für alle x,y∈A (Symmetrie) und d(x,y)>0 für alle x=y
(strikte Positivität). Diese beiden Eigenschaften sind notwendig, um d als eine Metrik auf der Menge A zu klassifizieren.
wäre dann dieser übnerarbeitete beweis richtig?

Das ist schon besser, allerdings gilt die strikte Positivität nicht für x=y, denn dafür ist die Metrik ja 0. ;)

für einige x,y ∈ A

Hier reicht sogar mindestens 1!

Die Symmetrie ist in Ordnung, die strikte Positivität nicht. Warum kann nicht \(d(x,y)<0\) sein?

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Also soweit ich verstanden habe, kann die Metrik d(x,y) nicht negativ sein, weil sie eine Distanzfunktion ist. In der realen Welt und in der Mathematik ist die Distanz zwischen zwei Punkten immer eine nichtnegative Größe. Wenn Sie zwei Punkte haben, kann die kürzeste Entfernung zwischen ihnen nicht negativ sein. Es ist entweder Null (wenn die Punkte identisch sind) oder positiv (wenn die Punkte unterschiedlich sind). Daher ist es in der Definition einer Metrik festgelegt, dass d(x,y) ≥ 0 für alle x,y ∈ A.

Wenn ich das jetzt mit den anderen zusammen führe, sollte doch der Beweis ausreichen oder?