x-y/xy metrik Beweis zeigen

Question

Wie zeige ich genau dass folgende Abbildung eine metrik darstellt ?

D(x,y)=|x-y|/xy

X=(0,unendlich )

Answer 1

Gehe die Axiome durch:

1. pos. definit bzw.   x=y <=> d(x,y)=0

Folgt im Wesentlichen aus der entsprechenden Eigenschaft von |...|

zu: ==>    d(x,x)= |x-x|  / (x*x)  = 0/(x*x) = 0

    <==   d(x,y)= 0 ==>   |x-y|  / (x*y)  = |x-y| = 0  ==>   x=y

2. symmetrisch  : ist auch offensichtlich

3. Dreiecksungleichung :

d(x,y) + d(y,z) =   |x-y|  / (x*y)     +     |y-z|  / (y*z)

=  z* |x-y|  / (x*y*z)     +    x* |y-z|  / (x*y*z)

= (  z* |x-y|      +    x* |y-z| ) / (x*y*z)    weil x und z nicht negativ sind gilt:

= (  |zx-zy|      +    |xy-xz| ) / (x*y*z)  Dreiecksungl. für |...|  gibt

≥  (  |zx-zy      +    xy-xz| ) / (x*y*z)

=   (  |-zy      +    xy| ) / (x*y*z)

=   (  y * |  -z     +    x| ) / (x*y*z)   [ kürzen mit y≠0]

=   (  |  -z     +    x| ) / (x*z)

=   (  |  x -z | ) / (x*z)    =   d(x,z)      q.e.d.