Zeigen Sie, dass ... eine Metrik auf ℝ definiert (Beweis Metrik)

Question

Zeigen Sie, dass \( d: \mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, d(x, y)=\arctan |x-y| \) eine Metrik auf \( \mathbb{R} \) definiert.

Zeigen Sie dazu insbesondere auch

\( \arctan (a+b) \leq \arctan (a)+\arctan (b) \quad \forall a, b \geq 0 \)

unter Zuhilfenahme von \( \arctan (c)=\int \limits_{0}^{c}\left(1+y^{2}\right)^{-1} d y \).

Answer 1

Setze arctan(a+b) in die Zuhilfenahme ein und teil das Integral in die Grenzen von 0 - a und a - (a+b). das erste Integral ergibt?

Das zweite Integral substituierst du so, dass die Grenzen von 0 - b gehen. Danach schätzt du es ab und die Dreiecksungleichung ist bewiesen.
Mfg Kommilitone