Zeigen Sie, dass d eine Metrik auf ℝ definiert.

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

\( d(x, y):=\left\{\begin{array}{ll} |x-y|, & \text { falls }(x<1 \text { und } y<1) \text { oder }(x \geq 1 \text { und } y \geq 1), \quad \text { für } x, y \in \mathbb{R} . \\ |x-y|+1, & \text { sonst }, \end{array}\right. \)
a) Zeigen Sie, dass \( d \) eine Metrik auf \( \mathbb{R} \) definiert.
b) Zeigen Sie, dass \( f:(\mathbb{R}, d) \rightarrow(\mathbb{R}, d), x \mapsto 2 x \) nicht stetig ist.

Problem/Ansatz:

Bei der a muss man nur die Eigenschaften einer Metrik prüfen. Da muss man sicherlich fallunterscheidungen betreiben oder?

Darf ich mir bei der b die Zahlenpaare (1; 0,9999999999......) und (1;1) nehmen? dann ist das erste Paar im zweiten Fall und nach anwenden der Abbildung kommt 1 raus und bei dem zweiten Paar kommt dann 0 raus. und da 0,99999999.... gegen 1 konvergiert bzw sogar eigentlich 1 ist nach Definition, ist doch die stetigkeit widerlegt oder? Oder muss man das über epsilon delta machen? (haben wir für die metriken noch nicht eingeführt, außer die klassische epsilon delta definition)

Comments

Ja, für die Frage a) muss man Fallunterscheidungen betreiben.

Answer 1

Wegen der Frage nach der Stetigkeit würde ich auf Stetigkeit im Punkt x:=0.5 prüfen und dazu die Folge \(x_n:=0.5-1/n\) betrachten. Dann gilt

$$d(x,x_n)=0.5-(0.5-1/n)| \to 0$$

$$d(f(x),f(x_n))=d(1,1-2/n)=|1-(1-2/n)|+1 \not \to 0$$

Comments

Alles klar vielen dank! an der stelle x=1 würde es auch gehen mit xn= 1 - 1/n oder ? dann würde d(x,xn) gegen 1 gehen und d(f(x),f(xn)) gegen 0.

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Das würde der Stetigkeit nicht widersprechen.

Stetigkeit: \(x_n \to x_0 \Rightarrow f(x_n) \to f(x_0)\)

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Moment das ist mir nicht klar wieso. Dass das für die stetigkeit gelten muss, was du geschrieben hast, ist klar, aber wieso genau widerspricht das in dieser Metrik dem Beweis der Unstetigkeit in x=1?

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Mir ist nicht ganz klar, was Du sagen willst.

Jedenfalls ist die Funktion im PUnkt \(x_0=1\) stetig. Denn wenn \(x_n \to 1\), also \(d(1,x_n) \to 0\), dann ist notwendig \(x_n \geq 1\) (für hinreichend große n und also

$$d(x_n,1)=|1-x_n| \to 0$$

Dann ist \(f(1)=2 \geq 1\) und \(f(x_n)=2x_n \geq 1\) (für hinreichen große n) und daher

$$d(f(1),f(x_n))=|2-2x_n| \to 0$$

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Ah ich glaube, meinen Denkfehler erwischt zu haben. Vielen Dank

Aber wieso muss d(1,xn) gegen 0 gehen?

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Wenn wir Stetigkeit an der Stelle 1 untersuchen, dann betrachten wir nach Definition Folgen x_n, die gegen 1 konvergieren.

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Aber die Folge könnte ja auch xn=1-1/n sein und wenn ich dann die metrik anwende kovergiert das gegen 1 und nicht gegen 0, da xn kleiner als 1 und 1=1 damit sind wir im zweiten fall.

Wende ich jetzt f an sind wir im ersten fall und das geht gegen 0. Das ist mein Gedanke aber scheinbar ist das nicht ganz richtig :D