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Hallo,


ich komme bei dieser Aufgabe einfach nicht weiter und würde mich über Eure Hilfe sehr freuen!


Aufgabe: Finde eine Metrik d auf ℝ so, dass (ℝ, d) nicht vollständig ist.

Als Tipp haben wir erhalten, dass man eine Metrik konstruieren soll, bezüglich derer xn = n eine Cauchy-Folge ist. Dabei soll eine injektive Abbildung von ganz R in das offene Intervall (−1, 1) helfen.


Leider verstehen mein Kommilitone und ich die Aufgabe nicht ganz und würden über eine Erklärung sehr freuen.

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Als Tipp:

\(f:\mathbb{R}\rightarrow (-1,+1)\) mit \(f(x)=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\) sieht

als Funktion, von der gesprochen wurde, doch recht gut aus.

Avatar von 29 k

und wie zeige ich, dass sie nicht vollständig ist? und ist die Funktion dann die Metrik oder? dankeschön für die funktion!:)

Naja, zunächstmal musst du eine Metrik d definieren,

z.B. könnte \(d\circ (f,f)\) einen Versuch wert sein,

wobei d eine "normale Metrik" ist, also \(d(x,y)=|x-y|\).

Du könntest also versuchen nachzuweisen, dass

\(d_{neu}(x,y)=|f(x)-f(y)|\) eine Metrik ist:

je größer x und y sind, desto kleiner werden die

Werte von \(d_{neu}(x,y)\). Damit könntest zeigen, dass \((n)_{n\in\mathbb{N}^*}\)

eine Cauchyfolge ist.

Ich selbst habe das nicht durchgerechnet, aber für die

Stimmigkeit spricht Vieles.

Alles klar, vielen Dank. Ich versuch mich mal dadurch!:)

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