Finde eine Metrik d auf ℝ so, dass (ℝ, d) nicht vollständig ist.

Question

Hallo,

ich komme bei dieser Aufgabe einfach nicht weiter und würde mich über Eure Hilfe sehr freuen!

Aufgabe: Finde eine Metrik d auf ℝ so, dass (ℝ, d) nicht vollständig ist.

Als Tipp haben wir erhalten, dass man eine Metrik konstruieren soll, bezüglich derer x_n = n eine Cauchy-Folge ist. Dabei soll eine injektive Abbildung von ganz R in das offene Intervall (−1, 1) helfen.

Leider verstehen mein Kommilitone und ich die Aufgabe nicht ganz und würden über eine Erklärung sehr freuen.

Answer 1

Als Tipp:

$f:\mathbb{R}\rightarrow (-1,+1)$ mit $f(x)=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$ sieht

als Funktion, von der gesprochen wurde, doch recht gut aus.

Comments

und wie zeige ich, dass sie nicht vollständig ist? und ist die Funktion dann die Metrik oder? dankeschön für die funktion!:)

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Naja, zunächstmal musst du eine Metrik d definieren,

z.B. könnte $d\circ (f,f)$ einen Versuch wert sein,

wobei d eine "normale Metrik" ist, also $d(x,y)=|x-y|$.

Du könntest also versuchen nachzuweisen, dass

$d_{neu}(x,y)=|f(x)-f(y)|$ eine Metrik ist:

je größer x und y sind, desto kleiner werden die

Werte von $d_{neu}(x,y)$. Damit könntest zeigen, dass $(n)_{n\in\mathbb{N}^*}$

eine Cauchyfolge ist.

Ich selbst habe das nicht durchgerechnet, aber für die

Stimmigkeit spricht Vieles.

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Alles klar, vielen Dank. Ich versuch mich mal dadurch!:)