Konstruiere folgende Beispiele in R ( mit Metrik d(x,y,)=|x-y|)

Question

Konstruiere folgende Beispiele in den Reellen Zahlen ( mit Metrik d(x,y,)=|x-y|)

a.) Finde ein Beispiel einer Familie von abgeschlossenen Mengen \(A_k\subset \mathbb{R}, k\in \mathbb{N}\) sd

die Vereinigung über alle \(A_k\) nicht abgeschlossen ist.

b.) Finde ein Beispiel einer Familie von offenen Mengen \(U_k\subset \mathbb{R}, k\in \mathbb{N}\) sd der Schnitt von allen \(U_k\) nicht offen ist.

Answer 1

wähle  Ak = { 1/k } . Als einelementige Menge abgeschl.

Die Vereinigung nicht; denn 0 ist nicht in der Vereinigung, aber

jede Umgebung von 0 enthält ein El. aus der Vereinigung der Ak .

b) wähle Ak = ] -1/k ; 1/k [

Durchschnitt ist {0} . Als einelementige Menge nicht offen.

Comments

Ich habe im Kopf das eine einelementige Menge sowohl abgeschlossen als auch offen ist. D.h. die einelementigen Mengen wären oben auch offen, das lässt du aber weg, weil es nicht wichtig ist für die Aufgabe?