Metrik auf reelle Zahlen geraden

Question

ich verstehe das nicht..

Comments

Was genau verstehst du nicht?

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alles, wie ich das zeigen soll

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Eine Metrik besitzt bestimmte Eigenschaften. Du sollst zeigen, dass deine Abbildungen diese erfüllen.

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Metrik bedeutet Abstand d:

Daher musst du zeigen:

- d(x,y)>=0 (Abstand muss positiv sein, wenn der Abstand 0 ist, ist x gleich y)

- d(x,y)=d(y,x) (Beim Abstand ist es egal, in welche Richtung man geht, der Betrag ist immer gleich)

-d(x,y)<=d(x,z)+d(z,y) (Dreiecksungleichung)

Answer 1

um mal den Stein ins Rollen zu bringen, kurz die Vorgehensweise bei a) für die positive Definitheit von \(d_1\).

Seien \(x,y \in \mathbb{R}^2\), also \(x = (x_1,x_2) \) und \(y = (y_1,y_2)\). Dann ist

$$ d(x,y) = \|x-y\|_1 =|x_1 - y_1| + |x_2 - y_2| \geq 0$$

\(d(x,y) = 0 \Leftrightarrow x_1 - y_1 = 0 \wedge x_2 - y_2 = 0 \Leftrightarrow x = y \).

Gruß