Untersuchen Sie, ob es sich bei den Abbildungen um Metriken handelt

Question

Aufgabe: Untersuchen Sie ob es sich bei den folgenden Abbildungen um Metriken handelt

Problem/Ansatz:

hey :)

Meine Geometrie Vorlesung habe seit einer Woche angefangen und leider tue ich mich noch bisschen schwer bei den Grundlagen. Ich habe verstanden, dass ich viel Eigenschaften nachprüfen muss (Positivität,Symmetrie, nicht-ausgeartet und Dreiecksungleichung).

Es wäre super könnte mir jemand anhand der Aufgabe helfen es zu verstehen!

Text erkannt:

Sei \( \mathbb{R}^{2}=\{(x, y): x, y \in \mathbb{R}\} . \) Seien \( P_{1}=\left(x_{1}, y_{1}\right), P_{2}=\left(x_{2}, y_{2}\right) \) zwei Punkte in \( \mathbb{R}^{2} . \)
Untersuchen Sie, ob es sich bei den folgenden Abbildungen \( \mathbb{R}^{2} \times \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} \) um Metriken handelt.
a) \( d_{-1}\left(P_{1}, P_{2}\right)=\left|x_{1}-x_{2}\right|-\left|y_{1}-y_{2}\right| \)
b) \( d_{1}\left(P_{1}, P_{2}\right)=\left|x_{1}-x_{2}\right|+\left|y_{1}-y_{2}\right| \)
c) \( d_{\infty}\left(P_{1}, P_{2}\right)=\max \left\{\left|x_{1}-x_{2}\right|,\left|y_{1}-y_{2}\right|\right\} \)
d) \( d_{-\infty}\left(P_{1}, P_{2}\right)=\min \left\{\left|x_{1}-x_{2}\right|,\left|y_{1}-y_{2}\right|\right\} \)

Comments

Ich habe verstanden, dass ich viel Eigenschaften nachprüfen muss

Warum tust Du das nicht einfach. Der größte Teil dieser Überprüfungen ist trivial. Du brauchst nur hinschreiben, was für diese Eigenschaften konkret verlangt ist und dann mal schauen.

Im übrigen kannst Du aus Deiner anderen Frage schon das Ergebnis ablesen, d.h. Du weißt schon, welche davon wirklich Metriken sind.

Gruß Mathhilf.

Answer 1

Auf den hilfreichen Kommentar hast du nichts geantwortet.

Macht dir das sinnvolle Aufschreiben Probleme ?

Bei a) reicht etwa ein Gegenbeispiel

Wähle z.B. P1 = (2;2) und P2=(1;1)

Dann ist |x1-x2| - |y1-y2| = |1| - |1| = 0 aber P1≠P2, also ist d_-1 nicht pos. def.

Bei b) musst du eben die 3 Metrikeigenschaften nachprüfen, etwa so:

1. Seien  (statt d₁ schreibe ich mal nur d ) P1 und P2 aus R^2 mit d(P1,P2)=0

==>    |x1-x2| + |y1-y2| = 0   Das ist die Summe zweier nichtnegativer reeller Zahlen.

Da die 0 ist, sind beide Summenden 0, also x1=x2    und y1=y2, also P1=P2.

Sind umgekehrt P1=P2 dann gilt x1=x2    und y1=y2, also auch

0  =   |x1-x2| + |y1-y2| = d(P1,P2).  Also ist d pos. def.

2. Für die Symmetrie musst du nur zeigen   |x1-x2| + |y1-y2| =   |x2-x1| + |y2-y1|

Das ist erfüllt, da für Beträge reeller Zahlen immer gilt |x-y| = |y-x|.

3. Dreiecksungleichung: Seien P1, P2 (wie oben ) und P3=(x3,y3) aus R^2.

==> d(P1,P3) + d(P3,P2) =  |x1-x3| + |y1-y3| +  |x3-x2| + |y3-y2|

                                 =  |x1-x3| +  |x3-x2| + |y1-y3| + |y3-y2|

und weil für die Beträge reeller Zahlen die Dreiecksungleichung gilt ist das

                          ≥  |x1-x3+ x3-x2| + |y1-y3 + y3-y2|

                           =   |x1-x2| + |y1-y2| =  d( P1, P2 ).

Comments

Ja genau das sinnvolle aufschreiben hat mir hauptsächlich Probleme gemacht. Aber danke für deine Hilfe dabei! Also d) scheint keine Metrik zu sein, es liegt doch auch an der Positivität dass es keine Metrik ist oder?

---

Das denke ich auch.