wie kann man zeigen, dass folgende Abbildungen keine Metriken auf ℝ sind?

Question

Zeigen Sie, dass folgende Abbildungen keine Metriken auf \( \mathbb{R} \) sind.
(i) \( \quad d_{1}(x, y):=|x-3 y|, x, y \in \mathbb{R} \)
(ii) \( d_{2}(x, y):=|x|-|y|, x, y \in \mathbb{R} \)

Hallo , Wie kann man diese Aufgabe beweisen ?Grüße.

Answer 1

Tipp: Gilt Symmetrie?

(i) \( d_{1}(x, y):=|x-3 y|, x, y \in \mathbb{R} \)

 \( d_{1}(y, x)=|y-3 x|=|x-3y|=d_1(x, y)  \) gilt nur für x=y.

(ii) \( d_{2}(x, y):=|x|-|y|, x, y \in \mathbb{R} \)

\( d_{2}(y, x)=|y|-|x| = -d_2(x, y)\)

Comments

Hallo, ja es gilt.

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Hallo, ja es gilt.

Echt ?

Answer 2

Zu 1.:

\(3\neq 1\); aber \(d(3,1)=0\)