Zeigen Sie, dass die Metriken d1,d2 und d3 äquivalent sind.

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Wir definieren die Metriken \( d_{1}, d_{2} \) und \( d_{3} \) auf \( \mathbb{R}^{n} \) durch:
$$ \begin{array}{l} d_{1}\left(\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right),\left(y_{1}, \ldots, y_{n}\right)\right):=\sqrt{\sum \limits_{j=1}^{n}\left(x_{j}-y_{j}\right)^{2}} \\ d_{2}\left(\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right),\left(y_{1}, \ldots, y_{n}\right)\right):=\sum \limits_{j=1}^{n}\left|x_{j}-y_{j}\right| \\ d_{3}\left(\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right),\left(y_{1}, \ldots, y_{n}\right)\right):=\max _{1 \leq j \leq n}\left\{\left|x_{j}-y_{j}\right|\right\} \end{array} $$
Zeigen Sie, dass die Metriken \( d_{1}, d_{2} \) und \( d_{3} \) äquivalent sind.

Answer 1

Hallo :-)

Ich rechne mal ein Beispiel vor: \(d_2\) und \(d_3\) sind äquivalent. Es gilt für alle \(x,y\in \mathbb{R}^n\)

\(\begin{aligned} d_2(x,y)&=\sum\limits_{j=1}^n |x_j-y_j|\leq \sum\limits_{j=1}^n \max\limits_{1\leq j\leq n} (|x_j-y_j|)\\[20pt]&=\max\limits_{1\leq j\leq n} (|x_j-y_j|)\cdot \left(\sum\limits_{j=1}^n 1\right)=n\cdot \max\limits_{1\leq j\leq n} (|x_j-y_j|)\\[20pt]&=n\cdot d_3(x,y) \end{aligned}\)

und

\(\begin{aligned} d_3(x,y)&=\max\limits_{1\leq j\leq n} (|x_j-y_j|)\leq |x_1-y_1|+...+|x_n-y_n|\\[20pt]&=\sum\limits_{j=1}^n |x_j-y_j|=d_2(x,y) \end{aligned}\)

Also gilt insgesamt

\(d_3\leq d_2\leq n\cdot d_3\).