Metriken - äquivalent und vollständig

Question

Aufgabe:

Sei I ein kompaktes ausgedehntes Intervall und sei X = C⁰(I,ℝ^d). Weiter sei g∈C⁰(I,ℝ_>0). Neben der Supremumsmetrik d_∞ betrachten wir d_{g,||•||,∞}(u,v) = sup{g(t)||u(t)-v(t)|| |t∈I} für u,v∈X.
(i) Zeige, dass d_{g,||•||,∞} zu d_∞ äquivalent ist,
(ii) Zeige, dass (X,d_{g,||•||,∞}) vollständig ist.

Hiermit komme ich gar nicht weiter. Ich wäre über Hilfe dankbar.

Comments

Ist

$$d_{\infty}(u,v)= \sup \{\|u(t)-v(t)\| \mid t \in I\}$$

mit einer beliebigen Norm definiert oder einer bestimmten? Mit derselben wie in der zweiten Metrik?

Ist Dir klar, was "Äquivalenz" bei Metriken bedeutet? Nämlich was?

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Hallo. Zur Norm wurden keine weiteren Angaben gemacht. Ja was Äquivalenz bedeutet ist mit klar.
Ich muss zwei Konstanten c,C>0 geschickt wählen, sd.
c*d_{g,||•||,∞} ≤ d_∞ ≤ C*d_{g,||•||,∞}
Nur komme ich mit der Abschätzung und der Wahl der Konstanten einfach nicht weiter.

Answer 1

Wir wählen zwei Konstanten a,b, so dass

$$\forall t \in I: \quad 0<a \leq g(t) \leq b$$

Dann gilt für alle \(u,v \in X\):

$$\forall t \in I: \quad \|u(t)-v(t)\| =\frac{1}{g(t)} g(t)\|u(t)-v(t)\| \leq \frac{1}{a} d_{g}(u,v)$$

$$\Rightarrow d_{\infty}(u,v) \leq \frac{1}{a}d_g(u,v)$$

Ähnlich zeigt man

$$\frac{1}{b}d_g(u,v) \leq d_{\infty}(u,v)$$

Comments

Vielen Dank ! Bei der (ii) bin ich allerdings noch ein bisschen ratlos.
Sein (f_n)_n∈ℝ eine Cauchy-Folge. Dann:
Für jedes ε>0 ex. ein N∈ℕ sd. für jedes n,m∈ℕ_≥N gilt : d(f_n,f_m) < ε
In unserem Fall also für alle t: sup{g(t)||f_n(t)-f_m(t)||} < ∈
Jetzt habe ich doch zu zeigen, dass diese Folgen auch konvergieren, also:
Für jedes ε>0 ex. ein N∈ℕ sd. für jedes n∈ℕ_≥N gilt : d(f_n,f) < ε
Aber wie lässt sich sup{g(t)||f_n-f||} < ε genau zeigen ?

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Ich gehe davon aus, dass Ihr die Vollständigkeit von \(X,d)\) mit der Supremums-Metrik d gezeigt habt und (ii) darauf zurückführen sollt. Also mit Hilfe von (i)

\((f_n)\) ist Cauchy-Folge in \((X,d_g)\), dann auch in \((X,d)\)

\((f_n)\) ist Cauchy-Folge in \((X,d)\), dann ist \((f_n)\) konvergent gegen ein f in \((X,d)\)

\(f_n \to f\) in \((X,d)\), dann auch \(f_n \to f\) in \((X,d_g)\)