Seien X eine nichtleere Menge und d1 und d2 Metriken auf X

Question

Hallo, hat jemand vielleicht eine Lösung für diese Aufgabe? Komme nicht weiter

Text erkannt:

Seien \( X \) eine nichtleere Menge und \( \mathrm{d}_{1} \) und \( \mathrm{d}_{2} \) Metriken auf \( X \).
(i) Zeigen Sie, dass durch \( \mathrm{d}_{3}(x, y):=\max \left\{\mathrm{d}_{1}(x, y), \mathrm{d}_{2}(x, y)\right\}(x, y \in X) \) eine Metrik auf \( X \) definiert wird.
(ii) Zeigen Sie, dass \( \mathrm{d}_{4}(x, y):=\min \left\{\mathrm{d}_{1}(x, y), \mathrm{d}_{2}(x, y)\right\}(x, y \in X) \) im Allgemeinen keine Metrik auf \( X \) definiert.

Answer 1

\( \mathrm{d}_{3}(x, y):=\max \left\{\mathrm{d}_{1}(x, y), \mathrm{d}_{2}(x, y)\right\}(x, y \in X) \)

Musst ja nur die Metrik-Axiome prüfen:

(Ich lass mal die 3 weg und schreibe da nur d )

1. d(x,y)=0 <=> x=y

Seien also x,y aus X und d(x,y)=0

==> \( \max \left\{\mathrm{d}_{1}(x, y), \mathrm{d}_{2}(x, y)\right\}(x, y \in X) =0 \)

Da weder \( \mathrm{d}_{1}(x, y)\) noch ( \mathrm{d}_{2}(x, y)\) negativ

sein können [Metrik-Axiom 1 für d1 und d2] und 0 das max ist,

müssen beide 0 sein, also   [Metrik-Axiom 1 für d1 und d2] x=y.

Ist umgekehrt x=y sind d1 und d2 beide 0, also auch das max 0.

2. Seien also x,y aus X.

==>  \( d(x,y) = \max \left\{\mathrm{d}_{1}(x, y), \mathrm{d}_{2}(x, y)\right\} \)

Metrik-Axiom 2 für d1 und d2 liefert :

\( d(x,y) = \max \left\{\mathrm{d}_{1}(y,x), \mathrm{d}_{2}(y, x)\right\} =d(y,x)\)

Auch Nr.3 kannst du auf die Gültigkeit für d1 und d2 zurückführen.