Bestimmen Sie für folgenden Untervektorraum U des ℝ^{5} eine Orthonormalbasis bezüglich des Standard-Skalarprodukts:

Question

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Bestimmen Sie für folgenden Untervektorraum \( U \) des \( \mathbb{R}^{5} \) eine Orthonormalbasis bezüglich des Standard-Skalarprodukts:
\( U=\left[\left(\begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right),\left(\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right),\left(\begin{array}{l} 2 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \\ 2 \end{array}\right),\left(\begin{array}{l} 2 \\ 1 \\ 0 \\ 2 \\ 3 \end{array}\right)\right] \)
Ergänzen Sie die gefundene Orthonormalbasis von \( U \) zu einer Orthonormalbasis von \( \mathbb{R}^{5} \).
Berechnen Sie den Abstand des Vektors \( x=\left(\begin{array}{lllll}1 & -2 & 3 & -3 & 0\end{array}\right)^{\top} \) zu \( U \).

Hänge an dieser Aufgabe bitte um Hilfe

Answer 1

\(U=\left[\left(\begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right),\left(\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right),\left(\begin{array}{l} 2 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \\ 2 \end{array}\right),\left(\begin{array}{l} 2 \\ 1 \\ 0 \\ 2 \\ 3 \end{array}\right)\right] \)

Gehe vor nach der in Wikipedia beschriebenen Methode:

Die gegebenen sind w1, w2, w3, w4.

Dann ist v1 ja schon normalisiert (  ||w1||=1 ) also v1=w1.

v2' = w2 - <v1,w2>v1 =  w2 - 1*v1

=\(\left(\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right) -\left(\begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right) \)

Normalisiert ist der schon, also \(\ v_2= \left(\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right) \)

Jetzt v3 ' bestimmen etc.