Bestimmen Sie die bestmögliche Approximation von (1,0,0) durch (0,1,0) und (0,0,1) bezüglich dieses Skalarprodukts.

Question

Aufgabe:

Approximation von Punkt durch Matrix

Problem/Ansatz:

40) Sei
\( A=\left(\begin{array}{ccc} 3 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{array}\right),\langle x, y\rangle_{A}:=x^{T} A y \)
Bestimmen Sie die bestmögliche Approximation von \( (1,0,0) \) durch \( (0,1,0) \) und \( (0,0,1) \) bezüglich dieses Skalarprodukts.

Normalerweise muss ich ja eine Approximationsfunktion p bestimmen mit p(x) = a*(0,1,0)+b*(0,0,1) und dann das Minimum von <f-p,f-p> berechnen (wobei f(x)=(1,0,0) -- so habe ich es zumindest beim Approximieren von Funktionen gemacht). Das Problem hierbei ist aber schon das, dass ein Spaltenvektor mal eine Matrix mal ein Zeilenvektor gerechnet wird, was nicht möglich ist.

Answer 1

Hallo,

Das Problem hierbei ist aber schon das, dass ein Spaltenvektor mal eine Matrix mal ein Zeilenvektor gerechnet wird

Das stimmt so nicht: Es ist Zeilenvektor mal Matrix mal Spaltenvektor.

Sei also f=(1,0,0), v=(0,1,0),w=0,0,1), p=av+bw. Wir müssen a,b bestimmen, so dass \(\langle f-p,f-p \rangle\) minimal wird. Das ist genau dann für \(a_0, b_0\) der Fall, wenn die Differenz \(f-(a_0v+b_0w)\) senkrecht steht auf allen Vektoren \(av+bw\). Dies führt zum linearen Gleichungssystem

$$\langle f-a_0v-b_0w,v \rangle=\langle f,f\rangle-a_0\langle v,v \rangle-b_0\langle w,v \rangle=0$$

$$\langle f-a_0v-b_0w,w \rangle=\langle f,f\rangle-a_0\langle v,w \rangle-b_0\langle w,w \rangle=0$$

Jetzt kann man die Zahlen für dieses Gleichungssystem mit dem konkreten Skalarprodukt ausrechnen und das System lösen.

Gruß Mathhilf