kann mir jemand bitte helfen.
Aufgabe:
Bestimmen Sie die Koeffizienten \(b_0, b_1, b_2 \in \mathbb{R}\) so, dass die Differenzenformel
\(f'(t) ≈ b_0f(t)+b_1f(t+h)+b_2f(t+2h) \)
für alle Polynome \(p \in ∏_2\)
Problem/Ansatz:
in unserem Skript steht folgende Formel:
Wie ersetzen f durch das an gegebenen, paarweise verschiedenen Stellen \(t_i, i = 0,...,n\) interpolierende Polynom p.
Ausgehend von
\(p(t)= \sum\limits_{j=0}^{n}{f_jl_j(t)}, l_j(t)=\prod_{n=0, n≠j}{\frac{\bar{t}-t_{n_1}}{t_j-t_{n_1}}} \)
mit \(f_j=f(t_j)\) erhält man
\(p'(\bar{t}) = \sum\limits_{j=0}^{n}{f_jl'_j(\bar{t})} = \sum\limits_{j=0}^{n}{b_jf_j}\),
\(b_j=l'_j(\bar{t})=\sum\limits_{l=0, l≠j}^{n}{\frac{1}{t_j-t_l}}\prod_{m=0, m≠j,l}{\frac{\bar{t}-t_m}{t_j-t_m}}\)
Per Konstruktion wird das so festegelegte Differenzenverfahren exakt für alle Polynome \(p \in ∏_n\), d.h
\(p'(\bar{t})=\sum\limits_{j=0}^{n}{b_j p(t_j)} \)
