Zeigen Sie, dass D linear ist und skizzieren Sie wie D abbildet.

Question

Text erkannt:

Es sei \( \langle\cdot, \cdot\rangle \) das Standardskalarprodukt auf \( \mathbb{R}^{2} \) und \( \|\cdot\| \) die induzierte Norm. Weiter sei die Abbildung
\( D: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, x=\left(x_{1}, x_{2}\right) \mapsto\left(-x_{2}, x_{1}\right)=: x^{\perp} \)
gegeben.
a) Zeigen Sie, dass \( D \) linear ist und skizzieren Sie wie \( D \) abbildet.
b) Zeigen Sie für alle \( x, y, z \in \mathbb{R}^{2} \) die folgenden Identitäten:
i) \( \left\langle x^{\perp}, y\right\rangle=\operatorname{det}(x, y) \),
ii) \( \left\langle x^{\perp}, y\right\rangle z+\left\langle y^{\perp}, z\right\rangle x+\left\langle z^{\perp}, x\right\rangle y=0 \),
iii) \( \left|\left\langle x^{\perp}, y\right\rangle\right|=\|x\|\|y\| \cdot|\sin (\omega(x, y))| \), wobei \( \omega(x, y) \) den Winkel zwischen \( x \) und \( y \) bezeichne.

Habe Probleme mit dieser Aufgabe, würde mich über eine Antwort freuen.

Answer 1

zu a) Seien (a,b) und (c,d) aus R^2 , dann gilt

D( (a,b)+(c,d) ) = D ( a+c,b+d) = ( -(b+d) , a+c )

= ( -b+(-d) , a+c )= ( -b,a) + (-d,c)

= D(a,b) + D(c,d)

entsprechend zeige D(x*(a,b)) = x*D(a,b)

und du hast die Linearität gezeigt.

Art der Abbildung:

(x,y) → (y,x) ist eine Spiegelung an der 1. Winkelhalbierenden

dann noch  (y,x) → (-y,x) eine Spiegelung an der x-Achse.

Die beiden Spiegelachsen schneiden sich im Ursprung

unter 45°.

Also ist die Hintereinanderausführung der Spiegelungen

eine Drehung um den Ursprung um 90°.