Abbildungsmatrix bestimmen von F:Rn -> Rm

Question

Aufgabe:

...

Bestimmen Sie für die folgenden Abbildungen F : Rn → Rm die Abbildungsmatrix A (sofern sie
existiert), so dass F (x) = Ax für x ∈ Rn gilt.

1. F : R2 → R4 mit F (x, y) = (x − y, 2x, −3y, 0)

2.F : R2 → R2 als Streckung von x ∈ R2 um den Faktor 3

Problem/Ansatz:

...

für 1. hätte ich als Lösung:

$$\begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 0 \\ 0 & -3 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x-y\\2x\\-3 \\o \end{pmatrix}$$

für 2.

$$3*\vec{a} = 3*\begin{pmatrix} ax\\ay \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3*ax\\3*ay \end{pmatrix}$$

ich bin mir recht unsicher. Da ich bei zweitens nicht ganz verstehe wie ich einen Vektor strecken soll, wenn ich nur "x" Faktor 3 rechnen soll. Kann man einen Vektor nicht nur als ganzes strecken?

Bin ich sonst auf dem richtigen Weg, oder habe ich das Prinzip/die Aufgabe falsch verstanden? Fals ja, gerne Bezug nehmen auf was ich achten muss und was ich ändern muss.

Vielen Dank!

Answer 1

Aloha :)

Du bist auf dem richtigen Weg...

$$\binom{x}{y}\mapsto\left(\begin{array}{r}x-y\\2x\\-3y\\0\end{array}\right)=x\left(\begin{array}{r}1\\2\\0\\0\end{array}\right)+y\left(\begin{array}{r}-1\\0\\-3\\0\end{array}\right)=\underbrace{\left(\begin{array}{rr}1 & -1\\2 & 0\\0 & -3\\0 & 0\end{array}\right)}_{=A}\binom{x}{y}$$

$$\binom{x}{y}\mapsto\left(\begin{array}{r}3x\\3y\end{array}\right)=x\binom{3}{0}+y\binom{0}{3}=\underbrace{\left(\begin{array}{rr}3 & 0\\0 & 3\end{array}\right)}_{=A}\binom{x}{y}$$