Sei f: Rn → Rm eine lineare Abbildung. Zeigen Sie, dass m ≤ n ist, wenn f surjektiv ist.

Question

Aufgabe:

Sei f: Rⁿ → R^m eine lineare Abbildung. Beweisen Sie mithilfe Ihres Wissens über den Kern und das Bild von der Darstellungsmatrix M(f) folgende Aussagen.
a) Zeigen Sie, dass m ≤ n ist, wenn f surjektiv ist.
b) Zeigen Sie, dass m ≥ n ist, wenn f injektiv ist.
c) Zeigen Sie, dass m = n ist, wenn f ein Isomorphismus ist.
d) Zeigen Sie, dass die Aussage aus c) keine Aquivalenz sondern eine Implikation ist.

Problem/Ansatz:

Ich weiß hier nicht genau wie es surjektiv oder injektiv sein kann bitte brauche einen Ansatzt.

Answer 1

Hallo Katarina,

Sei f: Rⁿ → R^m eine lineare Abbildung

Eine Menge ℝ^d hat um so mehr Elemente,  je größer die Dimension d ist

a) f surjektiv  →_#  dim(Bild) = m    →  m ≤ n

# Jedes Element der Zielmenge ℝ^m muss mindestens ein Urbild in der Definitionsmenge  ℝⁿ haben.

b) f injektiv  →_#    m ≥ n

# Alle Elemente der  Definitionsmenge  ℝⁿ müssen verschiedene Bilder in ℝ^m haben

c) f Isomorphismus →  f ist bijektiv ( also injektiv und surjektiv)  →  m = n

d)  Sei n=m=1

f; ℝ → ℝ  , x  → 0   ist eine nicht injektive lineare Abbildung, also kein Isomorphismus

Gruß Wolfgang